2洛必达法则 高等数学
高 等 数 学
0 型及型未定式解法:洛必达法则 0 ● 定义如果当x→a(或x→∞)时,两个函数 f(x)与F(x)都趋于零或都趋于无穷大,那末 极限imf(x)可能存在、也可能不存在.通 (x→>∞) F(x) 0 常把这种极限称为或—型未定式 tanx 0 In sin axon 例如,Iim,()m x→ x-0 Insin bx oo
一 、型 及 型未定式解法:洛必达法则 0 0 定义 . 0 0 ( ) ( ) lim ( ) ( ) ( ) ( ) 常把这种极限称为 或 型未定式 极限 可能存在、也可能不存在．通 与 都趋于零或都趋于无穷大，那末 如果当 或 时，两个函数 → → → → F x f x f x F x x a x x x a 例如, , tan lim 0 x x x→ , lnsin lnsin lim 0 bx ax x→ ) 0 0 ( ( )
定理设 (1)当x→a时,函数f(x)及F(x)都趋于零 (2)在a点的某去心邻域内,f(x)及F(x)都存在 且F(x)≠0 (3)if(x) 存在(或为无穷大) x少0F(x) 那末mf(x)=mf(x x0F(x)x→aF(x) 定义这种在一定条件下通过分子分母分别求导再 求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则
(1)当 时,函数 ( ) 及 ( ) 都趋于零; 设 x → a f x F x 定理 定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再 求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则. ( ); ( ) ( ) (3) lim 存在 或为无穷大 F x f x x a → ( ) 0; (2) , ( ) ( ) F x a f x F x 且 在 点的某去心邻域内 及 都存在 . ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim F x f x F x f x x a x a = → → 那末
证定义f(a)=F(a)=0辅助函数 X≠ f1(x)= F(x),x≠a F1(x) = 0. = 在U(a,6)内任取一点x,在以a与x为端点的区间上, f(x),F1(x)满足柯西中值定理的条件,则有 f() f(x)-fa(s) F(x)F(x)-F(a)F"()(5在x与a之间) 当x→时,5→a,linf"(x)=A,加mnf(5)=A x→aF(x) 5→aF(2) lim f(x)=lim /(5-lm /(5) x→a F(x)xF"(2)5F'(2)
证 定义 f(a)=F(a)=0 辅助函数 , 0, ( ), ( ) 1 = = x a f x x a f x , 0, ( ), ( ) 1 = = x a F x x a F x ( , ) , 0 在U a 内任取一点 x 在以 a 与 x 为端点的区间上, ( ), ( ) , f1 x F1 x 满足柯西中值定理的条件 则有 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) F x F a f x f a F x f x − − = ( ) ( ) F f = (在x与a之间) 当x → a时, → a, , ( ) ( ) lim A F x f x x a = → , ( ) ( ) lim A F f a = → . ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim A F f F f F x f x x a x a a = = = → → →
如果(x)仍属0型,且f(x,F(x)满足 F"(x) 定理的条件,可以继续使用洛必达法则,即 f()=lim/(x)=lim() x→a F(x)xaF(x)x→aF"(x) x→>∞时,该法则仍然成立 limf(x)= lim/(x) x少F(x)x0F(x)
当x →时,该法则仍然成立. 定理的条件，可以继续使用洛必达法则，即 如果 仍属 型，且 ( ), ( ) 满足 0 0 ( ) ( ) f x F x F x f x . ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim = = = → → → F x f x F x f x F x f x x a x a x a . ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim F x f x F x f x x x = → →
例1求lm tanx x→>0x 0-0 解原式=lim (tan x) lim sec x =1 x→>0(x x→0 例2求mimx-3x+2 0 x→)1y 3 x2-x+1 3x2-3 解原式=lim 6x3 lim x13x2-2x-1x16x-2 2
例 1 解 . tan lim0 x x x → 求 ( ) (tan ) lim0 = → x x x 原式 1 sec lim 2 0 x x → = = 1 . 例 2 解 . 1 3 2 lim 3 2 3 1 − − + − + → x x x x x x 求 3 2 1 3 3 lim 2 2 1 − − − = → x x x x 原式 6 2 6 lim1 − = → x x x . 23 = ) 00 ( ) 00 (
arctan 例3求lm x→)+o 0 2 2 解原式=lim1+x=lim x→+ x→+0 1+x In sin ax 例4求lm x→0 In sin bx 解原式=lim a cos a· sIn nx cos ax·bX x→0 bcos bx. SIna x-0 bcos bx·ax cOS ox x→>0 COS (x
例 3 解 . 1 arctan 2 lim x x x − →+ 求 2 2 1 1 1 lim x x x − + − = →+ 原式 2 2 1 lim x x x + = →+ = 1 . 例 4 解 . lnsin lnsin lim0 bx ax x → 求 b bx ax a ax bx x cos sin cos sin lim0 = → 原式 = 1 . ) 00 (( ) ax bx x cos cos lim→0 = b bx ax a ax bx x = → cos cos lim0
例5求lm tanx x→tan3x 解原式=lim sec x =lim cos 3x x- t< 3x 3xI cOSX 丶im2c0 ossin lisin6x 6cos 3xsin 3x —2 x→πSin2x 2 cos 6x =3. x兀2cOS2x
例 5 解 . tan 3 tan lim2 xx x → 求 x x x 3sec 3 sec lim 22 2 → 原式 = xx x 22 2 cos cos 3 lim 31 → = x x x x x 2cos sin 6cos 3 sin 3 lim 31 2 −− = → xx x sin 2 sin 6 lim2 → = xx x 2cos 2 6cos 6 lim2 → = = 3 . ( )
注意:洛必达法则是求未定式的一种有效方法, 但与其它求极限方法结合使用,效果更好 例6求 lim tanx-x x0 x tan x sec 解原式=lim tanr-x x→>03x 2 x→>0 2 tan x -lim Im x>03x 2 x>03x 3
注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法， 但与其它求极限方法结合使用，效果更好. 例6 解 . tan tan lim 2 0 x x x x x − → 求 3 0 tan lim x x x x − = → 原式 2 2 0 3 tan lim x x x→ = 2 2 0 3 sec 1 lim x x x − = → 2 2 0 3 lim x x x→ = . 3 1 =
二、0·,00-,0,°,∞°型未定式解法 关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可解决 的类型(0、a ●● 1.0.∞型 步骤:0.0→1.∞,或0.0=0 例7求limx2e2,(0·∞) x→+o 解原式=lm x+?.t lim=+oo x→>+02xx→)+2
二、0 , − ,0 0 ,1 , 0型未定式解法 例7 解 lim . 2 x x x e − →+ 求 ( 0 ) x e x x 2 lim →+ = 2 lim x x e →+ = = +. 关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可解决 的类型 ), . 0 0 ( ( ) 1. 0 型 步骤: , 1 0 . 0 1 或 0 0 2 lim x e x x→+ 原式 =