§25阶导数 高等数学
高 等 数 学
高阶导数的定义 定义如果函数f(x)的导数f(x)在点x处可导,即 ((x))=lim f(x+△x)-f(x) 存在 △x->0 △x 则称(f"(x)为函数f(x)在点x处的二阶导数 记作f"(x) dy n d f(r) 或 dx dx 2 二阶导数的导数称为三阶导数,f"(x),y dx d 三阶导数的导数称为四阶导数,f(x),y,dx
一、高阶导数的定义 定义 如果函数f (x)的导数f (x)在点x处可导,即 , ( ) ( ) ( ( )) lim 0 存在 x f x x f x f x x + − = → 则称( f (x))为函数f (x)在点x处的二阶导数. 记作 . ( ) ( ), , 2 2 2 2 dx d f x dx d y f x y 或 三阶导数的导数称为四阶导数, ( ), , . 3 3 dx d y 二阶导数的导数称为三阶导数 f x y , ( ), , . 4 4 (4) (4) dx d y f x y
般地,函数f(x)的n-阶导数的导数称为 函数f(x)的m阶导数,记作 d end f(x) f(x),ym),或 dx dx 二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数 相应地,f(x)称为零阶导数;∫(x)称为一阶导数
函 数 的 阶导数 记 作 一般地 函 数 的 阶导数的导数称为 ( ) , , ( ) 1 f x n f x n − . ( ) ( ), , ( ) ( ) n n n n n n dx d f x dx d y f x y 或 二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数. 相应地, f (x)称为零阶导数; f (x)称为一阶导数
、高阶导数求法举例 1.直接法:由高阶导数的定义逐步求高阶导数 例2y=ax+b,求y 角:y `三 O 例3S=siat,求s" #4: S=ocos ot, s=-0sin ot 例4求指数函数的n阶导数 解y 般地,可得y)=e 即(ey")=e
例2 y = ax +b,求y''. 解： y' = a, 例3 s = sin t,求s''. 解： s' = cost, 例4 求指数函数的n阶导数. ' , x 解 y = e (n) x 一般地，可得y = e ( ) ( ) x n x 即e = e 二、 高阶导数求法举例 1.直接法:由高阶导数的定义逐步求高阶导数. y' ' = 0. '' sin . 2 s = − t '' , x y = e ''' . x y = e
例5证明:函数y=√2x-x2满足关系式 yy+1=0 证:将y=√2x-x2求导,得 2-2x x y 2√2x-x 2x-x 2-2x 2x-xa 2√2x-x 2x-x -2x+x2-(1-x 2x-x2)2 2 -x -x 于是 y1+1=0
例5 证明:函数y = 2x − x 2 满足关系式 '' 1 0 3 y y + = 证:将y = 2x − x 2 求导，得 , 2 1 2 2 2 2 ' 2 2 x x x x x x y − − = − − = ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 '' x x x x x x x x y − − − − − − − = ( ) 3 2 1 2 1 2 3 y x x = − − = − ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 x x x x x x x − − − + − − = '' 1 0 3 于是 y y + =
例6设y=x0(a∈R),求y( 解y=ax (axa)’=a(a-1)x ,"=(a( 1)x 2 )=a(a-1)(α-2)x c-3 y(n)=a(a-1)…(a-n+1)x=n(n≥1) 若a为自然数n,则 (x")=n!,y(+)=(n!)’=0
例 6 ( ), . (n) 设 y = x R 求y 解 −1 y = x( ) 1 = − y x 2 ( 1) − = − x 3 ( 1)( 2) − ( ( 1) ) = − − x 2 = − − y x ( 1) ( 1) ( 1) ( ) = − − + − y n x n n n 若为自然数n,则 ( ) ( ) ( ) n n n y = x = n!, ( !) ( 1) = + y n n = 0
注意:求n阶导数时,求出1-3或4阶后,不要急于合并 分析结果的规律性,写出m阶导数,数学归纳法证明) 例7设y=ln(1+x),求y( 解y 1+x (1+x) 3! 1+x) (1+x) n yn=(-1) (n≥1,0!=1) 1+x)
例7 ln(1 ), . (n) 设 y = + x 求y 解 注意: x y + = 1 1 2 (1 ) 1 x y + = − 3 (1 ) 2! x y + = 4 (4) (1 ) 3! x y + = − ( 1, 0! 1) (1 ) ( 1)! ( 1) ( ) 1 = + − = − − n x n y n n n 求n阶导数时,求出1-3或4阶后,不要急于合并, 分析结果的规律性,写出n阶导数.(数学归纳法证明)
例8设y=sinx,求ym) 解卩=c0sx=sin(x+ 2 y cos(x+=sin(x 2,)=sin(x+2.2 y"=c0s(x+2·)=sin(x+3.“ T =sin(x+n. 2 同理可得()(m)=c0x+B.个 2
例8 sin , . (n) 设 y = x 求y 解 y = cos x ) 2 sin( = x + ) 2 cos( y = x + ) 2 2 sin( + = x + ) 2 sin( 2 = x + ) 2 cos( 2 y = x + ) 2 sin( 3 = x + ) 2 sin( ( ) y = x + n n ) 2 (cos ) cos( ( ) x = x + n n 同理可得
2.高阶导数的运算法则: 设函数u和具有m阶导数,则 (1)(u±v)")=u()±p (2)(Cu)")=Cu) (3)(u·v) (n) =uy+nu (n-1) n(n 1) p (n-2), n(n-1)…(n-k+ 十 (n-k),(k) 1+∴+Lp ! ∑C k,,(n-k),(k) 莱布尼兹公式 k=0
2. 高阶导数的运算法则: 设函数u和v具有n阶导数, 则 ( ) ( ) ( ) (1) ( ) n n n u v = u v ( ) ( ) (2) ( ) n n Cu = Cu ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1) ( 2) ! ( 1) ( 1) 2! ( 1) (3) ( ) n k k n k k n n k k n n n n n C u v u v uv k n n n k u v n n u v u v nu v − = − − − = + + − − + + − = + + 莱布尼兹公式
例10设y=x2e2,求y0 解设u=e2,v=x2,则由菜布尼兹公式知 2x(20) 2 20(c2)”).(x2) 20(20-1)/2x8 e (x2)”+0 2! 20e2x·x2+20.2e2x.2x 20·19 十 2l8g2x.2 2! e2(x2+20x+95)
例10 , . 2 2 (20) y x e y 设 = x 求 解 设u = e 2 x , v = x 2 ,则由莱布尼兹公式知 ( ) ( ) 0 2! 20(20 1) ( ) 20( ) ( ) 2 (18) 2 (20) 2 (20) 2 2 (19) 2 + − + = + e x y e x e x x x x 2 2 2! 20 19 2 20 2 2 18 2 20 2 2 19 2 + = + x x x e e x e x 2 ( 20 95) 20 2 2 = e x + x + x