《线性代数》第三章 向量空间（3.4）矩阵的秩

1行秩、列秩、矩阵的秩 四.矩阵的秩 2矩阵秩的求法 3向量组的秩的求法 1.行秩、列秩、矩阵的秩 4矩阵秩的性质 5矩阵秩与行列式的关系 把矩阵的每一行看成一个向量,则矩阵可被认为由这些行向量组成, 把矩阵的每一列看成一个向量,则矩阵可被认为由这些列向量组成。 定义1:矩阵的行向量的秩,就称为矩阵的行秩; 矩阵的列向量的秩,就称为矩阵的列秩。 113 02-14 例如:矩阵A 0005的行向量组是 1,1,3,1 2=(0,2 3=(020205) 4=(0,0,020

1 四. 矩阵的秩 1.行秩、列秩、矩阵的秩 2.矩阵秩的求法 3.向量组的秩的求法 4.矩阵秩的性质 1. 行秩、列秩、矩阵的秩 5.矩阵秩与行列式的关系 把矩阵的每一行看成一个向量，则矩阵可被认为由这些行向量组成， 把矩阵的每一列看成一个向量，则矩阵可被认为由这些列向量组成。 定义1：矩阵的行向量的秩，就称为矩阵的行秩; 矩阵的列向量的秩，就称为矩阵的列秩。 例如：矩阵 1 1 3 1 0 2 1 4 0 0 0 5 0 0 0 0 A     − =         的行向量组是 1 2 3 4 (1,1,3,1) (0,2, 1,4) (0,0,0,5) (0,0,0,0)     = = − = =

可以证明,12,C3是A的行向量组的一个极大无关组, 因为,由k,a,+kan+k,a,=0 即k1(1,1,3,1)+k2(0,2,-1,4)+k3(0,0,0,5) =(k1,k1+2k2,3k1-k2,k1+4k2+5k3) =(0,0,0,0) 可知k1=k2=k3=0,即Q1,Q2,a3线性无关 而4为零向量,包含零向量的向量组线性无关, 12,03,C4线性相关。 所以向量组C1,02,O3O4的秩为3, 所以矩阵A的行秩为3

2 可以证明， 1 2 3    , , 是A的行向量组的一个极大无关组， 因为，由 1 1 2 2 3 3 k k k    + + = 0 即 1 2 3 1 1 2 1 2 1 2 3 (1,1,3,1) (0,2, 1,4) (0,0,0,5) ( , 2 ,3 , 4 5 ) (0,0,0,0) k k k k k k k k k k k + − + = + − + + = 可知 1 2 3 k k k === 0, 即 1 2 3    , , 线性无关； 而  4 为零向量，包含零向量的向量组线性无关， 1 2 3 4     ,,, 线性相关。 所以向量组 1 2 3 4     ,,, 的秩为3， 所以矩阵A的行秩为3

矩阵A的列向量组是 3 0 B2 0 200 ,B3 , B 0 1450 0 可以验证B1,B2,/4线性无关, 而月3=B1-2+0B 所以向量组B1,B2月3,月4的一个极大无关组是A1,B2,B4 所以向量组1,B2,B3,B4的秩是3 所以矩阵A的列秩是3

3 矩阵A的列向量组是 1 2 3 4 1 1 3 1 0 2 1 4 , , , 0 0 0 5 0 0 0 0                     − = = = =                                 可以验证 1 2 4    , , 线性无关， 而 3 1 2 4 7 1 0 2 2     = − + 所以向量组 1 2 3 4     ,,, 的一个极大无关组是 1 2 4    , , 所以向量组 1 2 3 4     ,,, 的秩是3， 所以矩阵A的列秩是3

问题:矩阵的行秩矩阵的列秩 引理1:矩阵的初等行变换不改变矩阵的行秩。 (列) (列) 证:把Am,按行分块,设Am (1)对换矩阵A的两行 A的行向量组所含向量未变,所以向量组的秩不变, 所以矩阵A的行秩不变。 (2)用非零常数k乘以A的第i行

4 问题：矩阵的行秩 ? ＝ 矩阵的列秩 引理1：矩阵的初等行变换不改变矩阵的行秩。 （列） （列） 证：把 A m n 按行分块，设 1 2 m n m A         =       （1）对换矩阵A的两行   A的行向量组所含向量未变，所以向量组的秩不变， 所以矩阵A的行秩不变。 （2）用非零常数k乘以A的第i行

A=a:-kr> ka 显然,向量组a1,…,ka1;…,mn 可以由向量组a1,…,1,…,C 线性表示; 而向量组c1,…,al1;…,Cm 也可以由向量组c1…,ka;…,Om线性表示 所以矩阵A的行向量组与42的行向量组等价, 又等价的向量组有相同的秩, A的行秩=A2的行秩,即A的行秩不变

5 1 1 2 i kr i i m m A A k                   = ⎯⎯→ =                     显然，向量组 1 , , , , i m    k 可以由向量组 1 , , , ,    i m 线性表示； 而向量组 1 , , , ,    i m 也可以由向量组 1 , , , , i m    k 线性表示。 所以矩阵 A 的行向量组与 A2 的行向量组等价， 又等价的向量组有相同的秩，  A的行秩＝ A2 的行秩，即A的行秩不变

(3)非零常数k乘以第后加到第行上 a1+kan|显然,A4中的行向量组 可以由A的行向量组线性表示 而A的行向量组可以由 A3中的行向量组线性表示。 所以两个向量组等价,所以行向量组的秩不变, 所以矩阵的行秩不变

6 （3）非零常数k乘以第i行后加到第j行上 1 1 3 i i i kr j j i m m A A k                              = ⎯⎯→ =         +             显然， A3 中的行向量组 可以由 A 的行向量组线性表示 而 A 的行向量组可以由 A3 中的行向量组线性表示。 所以两个向量组等价，所以行向量组的秩不变， 所以矩阵的行秩不变

引理2:矩阵的初等行变换不改变矩阵的列秩。 (列) (行) 证:设矩阵A经过初等行变换变为B, 即存在有限个初等矩阵P,P2,…,P 使得PP…PA=B 令P=PP…P则PA=B 把An按列分块,设Ann=(ax1,a2,…,an) 不妨设A的列向量组的极大无关组为av1,a2,…,Cr (可交换列的次序把它们换到前r列,矩阵的秩不变) 则PA=P(ax1,a2,…,an)=(Pa1,Pa2,…,Pan B

7 引理2：矩阵的初等行变换不改变矩阵的列秩。 （列） （行） 证：设矩阵A经过初等行变换变为B， 即存在有限个初等矩阵 1 2 , , , P P PS 使得 P P P A B 1 2 S = 令 P P P P = 1 2 S 则 PA B = 把 A m n 按列分块，设 1 2 ( , , , ) A m n n  =    不妨设A的列向量组的极大无关组为 1 2 , , , ,    r （可交换列的次序把它们换到前r列，矩阵的秩不变） 则 1 2 1 2 ( , , , ) ( , , , ) PA P P P P = =       n n = B

下面证明A的列向量组的极大无关组C1,C2…,Cr 经过初等行变换变为Pa1,POa2,…,Pa, 是矩阵B的列向量组的极大无关组。 (1)先证Pa1,Pa2,…,Par,线性无关。 设数k1,k2,…,k 使得k1Par1+k2Pa2+k,POn=0成立 P(K,a,+ k,a2+k, ar)=0 因为P为初等矩阵的乘积,所以P可逆。 .PP(K,a + k,a2+k, a)=po k,a1+k2a2+k,a1=0又a1,2;…,,线性无关 =k,=k,=0∴.Pa,,P ,…,Po线性无关

8 下面证明A的列向量组的极大无关组 1 2 , , ,    r 经过初等行变换变为 1 2 , , , P P P    r 是矩阵B的列向量组的极大无关组。 （1）先证 1 2 , , , P P P    r 线性无关。 设数 1 2 , , , r k k k 使得 1 1 2 2 0 r r k P k P k P    + + = 成立 1 1 2 2 ( ) 0 P k k k    + + = r r 因为P为初等矩阵的乘积，所以P可逆。 1 1 1 1 2 2 ( ) 0 P P k k k P   r r − −  + + = 1 1 2 2 0 r r  + + = k k k    又 1 2 , , ,    r 线性无关 1 2 3  = = = k k k 0 1 2 , , ,  P P P    r 线性无关

(2)再证B的列向量组中任一向量Pa 可由向量组PO1,Pa2,…,Pa,线性表示。 ∵1,C2,…,r1是A的列向量组的极大无关组 所以对于A中任一列向量a1都存在数1,l2,…,l 使得a,=x1+12+…+la 等号两边左乘P 有Pa1=l1Pax1+l2Pa2+…+lPa 由(1)(2)可知Pa1,Pa2,…,Par是B的列向量组的一个极大 无关组。 所以,B的列秩=r=A的列秩

9 （2）再证B的列向量组中任一向量 P j 可由向量组 1 2 , , , P P P    r 线性表示。    1 2 , , , r 是A的列向量组的极大无关组 所以对于A中任一列向量 1 2 , , , r  j 都存在数 l l l 使得 j r r 1 1 2 2     = + + + l l l 等号两边左乘P 有 P l P l P l P     j r r = + + + 1 1 2 2 由(1)(2)可知 1 2 , , , P P P    r 是B的列向量组的一个极大 无关组。 所以，B的列秩＝r＝A的列秩

综上,矩阵的初等变换不改变矩阵的行秩与列秩。 定理:矩阵的行秩=矩阵的列秩 证:任何矩阵A都可经过初等变换变为 形式, 而它的行秩为r,列秩也为r。 又,初等变换不改变矩阵的行秩与列秩, 所以,A的行秩=r=A的列秩 定义2:矩阵的行秩=矩阵的列秩,统称为矩阵的秩。 记为r(A),或 ranka,或秩A。 推论:矩阵的初等变换不改变矩阵的秩

10 综上，矩阵的初等变换不改变矩阵的行秩与列秩。 定理：矩阵的行秩＝矩阵的列秩 证：任何矩阵A都可经过初等变换变为 0 0 0 E r       形式， 而它的行秩为r，列秩也为r。 又，初等变换不改变矩阵的行秩与列秩， 所以，A的行秩＝r＝A的列秩 定义2：矩阵的行秩＝矩阵的列秩，统称为矩阵的秩。 记为r(A),或rankA，或秩A。 推论：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩