四.实对称矩阵的对角化 实对称矩阵是一类特殊的矩阵,它们一定可以对角化。 即存在可逆矩阵P,使得PAP=A 更可找到正交矩阵T,使得TAT=A 定理1:实对称矩阵的特征值为实数 证:设λ是A的任一特征值,(往证A=A) c是对应于λ的特征向量, 则Aa=a,(a≠0)设a 用几表示A的共轭复数,c表示a的共轭复向量
四. 实对称矩阵的对角化 实对称矩阵是一类特殊的矩阵，它们一定可以对角化。 即存在可逆矩阵 P , 使得 1 P AP − = 更可找到正交矩阵 ，使得 1 T AT − T = 定理1：实对称矩阵的特征值为实数. 证：设 是 A 的任一特征值，（往证 = ） 是对应于 的特征向量， 则 A = , ( 0) 设 1 2 n x x x = 用 表示 的共轭复数， 表示 的共轭复向量
则a=aa=.a(1) 又∵A是实对称矩阵,∴A=A且AT=A, ∴Aa=A·a=4.a(2) 由(12)有·a=4·a,等号两边同时左乘a 左边=a·(几·a)=元.a·a 右边=a1(A.a)=a!·Ar.a=(a)1·a =(4a)·a=4.a1.a ·a·c=A·a1:a 即(2-元)·a·a=0
则 A = = (1) 又 A 是实对称矩阵， = A A 且 . T A A = = A A A = (2) 由(1)(2)有 = , A 等号两边同时左乘 T 左边 ( ) T T = = 右边 ( ) ( ) ( ) T T T T T T A A A = = = = = T T = 即 ( ) 0 T − =
考虑 aa=(x1,x2,,xn):=x1·x1+x2·x2+…+xX x1+ >0 (∵a≠0 ∴凡一元=0∴几=元即为实数。 定理1的意义: 因为对称矩阵A的特征值为实数,所以齐次线性方程组 (A-x1E)x=0是实系数方程组。 又因为A-E=0,可知该齐次线性方程组一定有实的 基础解系,从而对应的特征向量可以取实向量
考虑 1 2 1 2 ( , , , ) T n n x x x x x x = 1 1 2 2 n n = + + + x x x x x x 2 2 2 1 2 0 n = + + x x x( 0) − = 0 = 即 为实数。 定理1的意义： 因为对称矩阵 的特征值 为实数，所以齐次线性方程组 又因为 ，可知该齐次线性方程组一定有实的 基础解系，从而对应的特征向量可以取实向量。 A i ( ) 0 A E x − = i 0 A E − = i 是实系数方程组
定理2:实对称矩阵A的对应于不同特征值的特征向量正交。 证:设A1,λ2是对称矩阵A的两个特征值,且A1≠2, P1,p2是依次与之对应的特征向量。 则41=A1n1,A2=2D2,(1≠2) A为实对称矩阵,∴AT=A 考虑4n1=(4n)=(4n)=n4=nA 于是λn2=nAP2=m1()=2·nn2, (41-42)2=0 λ≠石2,∴n1P2=0.∴(D1,2)=p1P2=0 即P1,P2正交
定理2：实对称矩阵 A 的对应于不同特征值的特征向量正交。 1 2 p p, 是依次与之对应的特征向量。 证：设 1 2 , 是对称矩阵 A 的两个特征值，且 1 2 , 则 1 1 1 2 2 2 1 2 Ap p Ap p = = , , ( ) 1 1 , T T T = = p A p A 于是 1 1 2 1 2 1 2 2 ( ) T T T p p p A p p p = = 2 1 2 , T = p p ( 1 2 1 2 ) 0. T − = p p , 1 2 1 2 0. T = p p A 为实对称矩阵， T = A A 1 1 1 1 1 ( ) ( ) T T T 考虑 p p Ap = = 1 2 1 2 ( , ) 0 T = = p p p p 即 p p 1 2 , 正交
定理3:A为n阶实对称矩阵,A是A的k重特征值, 知则对应于的特征向量中,线性无关的向量的个数为k, 道 结即(A-EX=0的基础解系所含向量个数为k 论 可(则k=n-r(A-E),r(A-A1E)=n-k.) 定理4:(实对称矩阵必可对角化) 对于任一n阶实对称矩阵A, 定存在n阶正交矩阵T,使得T4T=A 其中A是以A的n个特征值为对角元素的对角阵
定理3： A 为 n 阶实对称矩阵， 0 是 A 的 k 重特征值， 即 的基础解系所含向量个数为 k. 0 ( ) 0 A E X − = 则对应于 0 的特征向量中，线性无关的向量的个数为 k, 0 （则 k n r A E = − − ( ), − = − r A E n k ( ) . 0 ） 知 道 结 论 即 可 定理4：(实对称矩阵必可对角化) 对于任一 n 阶实对称矩阵 A ， 一定存在 n 阶正交矩阵 T, 使得 1 T AT . − = 其中 是以 A 的 n 个特征值为对角元素的对角阵
证:设实对称阵A的互不相等的特征值为A1,2,…, 它们的重数依次为r1,2,…,F 则r1+r2+…+r=n 由定理,特征值(重数为F)对应的线性无关的 特征向量为r个。 把它们正交化,再单位化,即得啁个单位正交的特征向量。 ∵十n2+…+r=n 所以,可得这样的单位正交向量n个
证：设实对称阵 A 的互不相等的特征值为 1 2 , , , s 它们的重数依次为 1 2 , , , s r r r 则 1 2 s r r r n + + + = 由定理，特征值 （重数为 ）对应的线性无关的 特征向量为 个。 i i r i r 把它们正交化，再单位化，即得 ri 个单位正交的特征向量。 1 2 s r r r n + + + = 所以，可得这样的单位正交向量 n 个
又∵A是实对称阵, 不同特征值对应的特征向量正交, 上面得到的n个单位特征向量两两正交。 以它们为列向量构成正交矩阵T,有 T1·AT=T·TA=A 其中∧的对角元素含有个x1 个A2 厂个λ,恰是A的n个特征值
又 A 是实对称阵， 上面得到的 n 个单位特征向量两两正交。 以它们为列向量构成正交矩阵 T ，有 1 1 T AT T T − − = = 不同特征值对应的特征向量正交， 其中 的对角元素含有 r1 个 1 2 r 个 2 s r 个 s 恰是 A 的 n 个特征值
求正交矩阵T,把实对称矩阵A化为对角阵的方法: 1.解特征方程4-E=0, 求出对称阵A的全部不同的特征值。 2.对每个特征值气,,求出对应的特征向量, 即求齐次线性方程组(A-1E)X=0的基础解系。 3.将属于每个x1的特征向量先正交化,再单位化。 这样共可得到n个两两正交的单位特征向量n1,2…,n 4.以m,n2,,mn为列向量构成正交矩阵T=(m1,m2,…,mn) 有TAT=A
求正交矩阵 T ，把实对称矩阵 A 化为对角阵的方法： 1. 解特征方程 A E − = 0, 求出对称阵 A 的全部不同的特征值。 即求齐次线性方程组 ( ) 0 A E X − = i 的基础解系。 3. 将属于每个 i 的特征向量先正交化，再单位化。 2. 对每个特征值 i ，求出对应的特征向量， 这样共可得到 n 个两两正交的单位特征向量 1 2 , , , n 4. 以 1 2 , , , n 为列向量构成正交矩阵 1 2 ( , , , ) T = n 有 1 T AT − =
1 即T-1.AT=A 必须注意:对角阵中A1,12,…,的顺序 要与特征向量m1,m2,,n的排列顺序一致
即 1 1 1 r r T AT − = = 必须注意：对角阵中 1 2 , , , n 的顺序 1 2 , , , 要与特征向量 n 的排列顺序一致
324 例1:设A=202|,求正交矩阵T, 423)使得TAT为对角阵 3-224 解:A4-E=|2-元2 423-元 =(+1)(-8)=0 入1=2=-1,3=8
例1：设 3 2 4 2 0 2 , 4 2 3 A = 求正交矩阵 T ， 1 T AT 使得 − 为对角阵。 解： 3 2 4 2 2 4 2 3 A E − − = − − ( ) ( ) 2 = + − 1 8 = 0 1 2 3 = = − = 1, 8
