第一章行列式 二(三)阶行列式 排列与逆序 行列式概念的形成(定义) 三.n阶行列式的定义 四.行列式的性质 行列式的基本性质及计算方法 五.行列式按一行(列)展开 六. Cramer法则 利用行列式求解线性方程组
第一章 行列式 一. 二（三）阶行列式 二. 排列与逆序 三. n 阶行列式的定义 四. 行列式的性质 五. 行列式按一行（列）展开 六. Cramer 法则 行列式概念的形成 行列式的基本性质及计算方法 （定义） 利用行列式求解线性方程组
本章主要讨论以上三个问题。 首先来看行列式概念的形成 问题的提出:求解二、三元线性方程组 引出 二阶、三阶行列式
本章主要讨论以上三个问题。 首先来看行列式概念的形成 问题的提出： 求解二、三元线性方程组 二阶、三阶行列式 引出
二阶与三阶行列式 1.二阶行列式 二元线性方程组: tax= b ,y,+x 由消元法,得 a1a2x1+a1221x2=ba21 a.C. ta 1122~2 得 (a1a2-a1221)x2=a1b2-b,a2 同理,得(a1a2-an2a21)x1=b,a2-a12b2 于是,当a1a2-a12a21≠0时,方程组有唯一解
一. 二阶与三阶行列式 1. 二阶行列式 二元线性方程组： + = + = 21 1 22 2 2 11 1 12 2 1 a x a x b a x a x b 由消元法，得 + = + = 11 21 1 11 22 2 11 2 11 21 1 12 21 2 1 21 a a x a a x a b a a x a a x b a 得 11 22 12 21 2 11 2 1 21 (a a − a a )x = a b − b a 同理，得 11 22 12 21 1 1 22 12 2 (a a − a a )x = b a − a b 于是，当 a11a22 − a12a21 0 时，方程组有唯一解
ha 122 12 11 1221 1122 为便于记忆,引进记号D= ,C-.〖 1122 21 称记号D= 为二阶行列式 21 其中,数an(i=12;j=1,2)称为元素 i为行标,表明元素位于第i行 j为列标,表明元素位于第j列
11 22 12 21 1 22 12 2 1 a a a a b a a b x − − = 11 22 12 21 11 2 1 21 2 a a a a a b b a x − − = 为便于记忆，引进记号 21 22 11 12 a a a a D = = a11a22 − a12a21 称记号 21 22 11 12 a a a a D = 为二阶行列式 其中 ，数 a (i = 1,2; j = 1,2) ij 称为元素 i 为行标，表明元素位于第 i 行 j 为列标，表明元素位于第 j 列
注:(1)二阶行列式“nan算出来是一个数。 (2)记忆方法:对角线法则 主对角线上两元素之积一副对角线上两元素之积 因此,上述二元线性方程组的解可表示为 b 22a 12 12 Db I122 11 D
注： (1) 二阶行列式 算出来是一个数。 21 22 11 12 a a a a (2) 记忆方法：对角线法则 主对角线上两元素之积 － 副对角线上两元素之积 因此，上述二元线性方程组的解可表示为 11 22 12 21 1 22 12 2 1 a a a a b a a b x − − = 2 22 1 1 12 b a b a D = 11 22 12 21 11 2 1 21 2 a a a a a b b a x − − = 21 2 1 11 1 a b a b D =
综上,令D 12 22 12 b 22 b2 D 则 D 称D为方程组的系数行列式
综上，令 21 22 11 12 a a a a D = 2 22 1 12 1 b a b a D = 21 2 11 1 2 a b a b D = 则， D D x 1 1 = D D x 2 2 = 称 D 为方程组的系数行列式
例1:解方程组3x1-2x2=12 2x.+x,=1 3-2 解:因为D= =3-(-4)=7≠0 21 12-2 11 =12-(-2)=14 312 3-24=-21 D.14 21 所以x=D7 3
例1： 解方程组 + = − = 2 1 3 2 12 1 2 1 2 x x x x 解： 因为 2 1 3 − 2 D = = 3 − (−4) = 7 0 12 ( 2) 14 1 1 12 2 1 = − − = − D = 3 24 21 2 1 3 12 D2 = = − = − 所以 2 , 7 1 14 1 = = = D D x 3 7 2 21 2 = − − = = D D x
2.三阶行列式 a1x1+a122+a13x3=b1 类似地,为讨论三元线性方程组an1x1+a2x2+a2x3=b2 ,X.+,X,+L,X 333 引进记号 12 13 D ,a12=a1,1,2+a1,,221+1,2 32 31 33 ,L、,L 22-31 112332 称之为三阶行列式 其中,数a/(=1,2,3;j=1,2,3)称为元素 i为行标,j为列标
2. 三阶行列式 类似地，为讨论三元线性方程组 + + = + + = + + = 31 1 32 2 33 3 3 21 1 22 2 23 3 2 11 1 12 2 13 3 1 a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b 引进记号 31 32 33 21 22 23 11 12 13 a a a a a a a a a D = = 13 22 31 12 21 33 11 23 32 11 22 33 12 23 31 13 21 32 a a a a a a a a a a a a a a a a a a − − − + + 称之为三阶行列式 其中 ，数 a (i = 1,2,3; j = 1,2,3) ij 称为元素 i 为行标， j 为列标
注:(1)三阶行列式算出来也是一个数 (2)记忆方法:对角线法则 例: 211 048 =2×(-4)×3+0×(-1)×(-1)+1×1×8 1×(-4)×(-1)-0×1×3-2×(-1)×8 24+8-4+16=
注： (1) 三阶行列式算出来也是一个数。 (2) 记忆方法：对角线法则 例： 1 8 3 1 4 1 2 0 1 − − − 24 8 4 16 4 1 ( 4) ( 1) 0 1 3 2 ( 1) 8 2 ( 4) 3 0 ( 1) ( 1) 1 1 8 = − + − + = − − − − − − − = − + − − +
对于三元线性方程组,若其系数行列式 12 可以验证,方程组有唯一解, D 21a2a23≠0 D D 32 D D 12 其中,D,=b2a2a2 13 12 D 31
对于三元线性方程组，若其系数行列式 31 32 33 21 22 23 11 12 13 a a a a a a a a a D = 0 可以验证，方程组有唯一解， D D x 1 1 = D D x 2 2 = D D x 3 3 = 其中， 3 32 33 2 22 23 1 12 13 1 b a a b a a b a a D = 31 3 33 21 2 23 11 1 13 2 a b a a b a a b a D = 31 32 3 21 22 2 11 12 1 3 a a b a a b a a b D =