第三章向量空间 n维向量空间 线性相关性 向量组的秩 四.矩阵的秩 五.内积与正交化
1 二. 线性相关性 三. 向量组的秩 一. n维向量空间 四. 矩阵的秩 第三章 向量空间 五. 内积与正交化
n维向量空间 1.n维向量 定义:n个有次序的数1,2,…·,an所组成的有序数组 (a1,a,…,an)称为一个n维向量。 这n个数称为该向量的n个分量,第i个数a 称为第i个分量。 分量全为实数的向量称为实向量, 分量全为复数的向量称为复向量 以后我们用小写希腊字母a,B,y…来代表向量
2 一. n维向量空间 分量全为复数的向量称为复向量. 分量全为实数的向量称为实向量， 1. n 维向量 定义：n 个有次序的数 1 2 , , , n a a a 所组成的有序数组 ( ) 1 2 , , , n a a a 称为一个n 维向量。 这 n 个数称为该向量的n 个分量，第 个数 称为第 个分量。 i i i a 以后我们用小写希腊字母 , , 来代表向量
例如: (1,2,3,…,n) n维实向量 (1+2i,2+3i,…,n+(n+1) n维复向量 第2个分量 第n个分量 第1个分量
3 例如： (1,2,3, ,n) (1 + 2i,2 + 3i, ,n + (n + 1)i) n维实向量 n维复向量 第1个分量 第n个分量 第2个分量
向量通常写成一行:a=(a,a,…,an)称为行向量 有时也写成一列:a= 称为列向量。它们的区别 只是写法上 的不同。 分量全为零的向量(0,0,…,0)称为零向量 2.向量的运算和性质 向量相等:如果n维向量a=(a,,…,an) β=(b 1529·· 的对应分量都相等,即a1=b(=1,2,…,m) 就称这两个向量相等,记为a=B
4 向量通常写成一行： ( ) 1 2 , , , n = a a a 有时也写成一列： 1 2 n a a a = 称为行向量。 称为列向量。 它们的区别 只是写法上 的不同。 分量全为零的向量 (0,0, ,0) 称为零向量。 2. 向量的运算和性质 向量相等：如果n 维向量 ( ) 1 2 , , , n = a a a ( ) 1 2 , , , n = b b b 的对应分量都相等，即 1,2, , ( ) i i a b i n = = 就称这两个向量相等，记为 =
向量加法:向量y=(a1+b,a2+b2,…,an+bn) 称为向量α=(an,a2…an) B=(b1,b,…,bn) 的和,记为y=a+B 负向量:向量a=(-a,-a,…,-an)称为向量a的负向量 向量减法:a-B=a+(-f) 数乘向量:设为数域p中的数,向量(kan,ka2,…,kan) 称为向量a=(a,a2, 与数k的数量乘积。记为ka
5 向量加法：向量 ( ) 1 1 2 2 , , , n n = + + + a b a b a b 称为向量 ( ) 1 2 , , , n = a a a ( ) 1 2 , , , n = b b b 的和，记为 = + 负向量：向量 ( ) 1 2 , , , n = − − − a a a 称为向量 的负向量 向量减法： − = + −( ) 数乘向量：设k为数域p中的数，向量 ( ) 1 2 , , , n ka ka ka 称为向量 ( ) 1 2 , , , n = a a a 与数k的数量乘积。记为 k
满足运算律: (1)a+B=B+a (5)l (2)a+B)+y=(a+)+y(6k(la)=(k)a (3)a+0=a ((K+Da=ka+la (4)a+(-a)=0 (8ka+B)=ka+kB 注:(1)对任意的向量c,存在唯一的零向量O, 使得a+0=a (2)对任意的向量c,存在唯一的负向量a, 使得a+(-a)=0 (3)0a=0;(-1)a=-a;0=0. (4)如果aa=0,则x=0或a=0
6 (4) ( ) 0 (3) 0 (2)( ) ( ) (1) + − = + = + + = + + + = + ( ) ( ) k k k k l k l k l kl + = + + = + = = (8) (7) (6) ( ) ( ) (5)1 满足运算律： 注：（1）对任意的向量 , 存在唯一的零向量 o, 使得 + = o （2）对任意的向量 , 存在唯一的负向量 −, 使得 + − = ( ) o （4）如果 = 0, 则 = = 0 0 或 （3） 0 0; ( 1) ; 0 0. = − = − =
3.n维向量空间 定义:设V为n维向量的集合,如果集合V非空, 且集合卩对于加法及数乘两种运算封闭, 那么就称集合卩为向量空间. 说明:集合V对于加法及数乘两种运算封闭指 va∈V,B∈V,有a+B∈v; va∈V,Vk∈R,有ka∈V 例1:3维向量的全体R3是一个向量空间。 n维向量的全体R”,也是一个向量空间
7 3. n 维向量空间 说明: V k R k V , , . 有 + V V V , , ; 有 定义： 设 V 为 维向量的集合，如果集合 非空， 且集合 对于加法及数乘两种运算封闭， 那么就称集合 为向量空间． n V V V 集合 V 对于加法及数乘两种运算封闭指 例1：3维向量的全体 是一个向量空间。 3 R n维向量的全体 R n ，也是一个向量空间
例2:判别下列集合是否为向量空间 9.n x2,…,x,∈R (2)J (1 29 29 ∈R 解:()a=(0,a2…an),B=(0,b2…b)∈V 有a+B=(0,a2+b,…,an+b,)y∈1 V∈R有a=(0,a2,…,a)∈ 所以,V是向量空间。 (2)V2不是向量空间。 因为若a=(1,a2,…,an)∈V2, 则2a=(2,2a2,…,an)g
8 例2: 判别下列集合是否为向量空间. ( ) ( ) 1 2 2 2 2 2 (1) 0, , , , , (2) 1, , , , , T n n T n n V x x x x x R V x x x x x R = = = = 解： ( ) ( ) 2 2 1 (1) 0, , , , 0, , , T T n n = = a a b b V ( ) 2 2 1 0, , , T n n 有 + = + + a b a b V ( ) 2 1 , 0, , , . T = R a a V 有 n 所以， V1 是向量空间。 (2) V2 不是向量空间。 2 (2,2 , ,2 ) . a2 a V2 T 则 = n (1, , , ) , a2 a V2 T 因为若 = n
例3:设a,b为两个已知的n维向量,判断集合 V={x=M+pb,p∈R是否为向量空间 解:Vx1=41a+1b,x2=2a+12b∈V 有x1+x2=(41+2)+(1+2)b∈V, k∈R,有kx1=(kA1a+(k1)b∈v 所以Ⅴ是一个向量空间 (这个向量空间成为由向量a,b生成的向量空间) 一般地,由向量组a1,2,…,m所生成的向量空间为 {x=41a1+42n2+…+nm41,2
9 V = x = a + b, R 是否为向量空间. 1 2 1 2 1 2 有x x a b V + = + + + ( ) ( ) , 1 1 1 = + k R kx k a k b V , ( ) ( ) . 有 （这个向量空间成为由向量a，b生成的向量空间） V x a a a R = = 1 1 + 2 2 ++ m m 1 ,2 , , m 一般地，由向量组 a a a 1 2 , , , m 所生成的向量空间为 例3：设 a，b为两个已知的n维向量，判断集合 1 1 1 2 2 2 解： = + = + x a b x a b V , 所以V是一个向量空间
1线性组合与线性表示 线性相关性 2向量组等价 1.线性组合与线性表示 3线性相关、无关 4判断线性相关性的定理 定义1:给定向量组A:101,5.线性相关及表示的定理 对于任何一组实数k1,k2…,km, 向量k1+k22+…+kmnm称为向量组A的一个 线性组合,k,k2,…,km称为这个线性组合的系数。 定义2:给定向量组A:a1,O2…,Cm,和向量f 如果存在一组实数1,2, 使得β=A1a1+2a2+…+nCm 则称向量β是向量组A的线性组合, 或称向量β能由向量组A线性表示
10 1. 线性组合与线性表示 二. 线性相关性 1.线性组合与线性表示 2.向量组等价 3.线性相关、无关 4.判断线性相关性的定理 5.线性相关及表示的定理 定义1：给定向量组 1 2 : , , , , A m 对于任何一组实数 1 2 , , , , m k k k 向量 1 1 2 2 m m k k k + + + 称为向量组A的一个 线性组合， 1 2 , , , m k k k 称为这个线性组合的系数。 定义2：给定向量组 1 2 : , , , , A m 和向量 如果存在一组实数 1 2 , , , m 使得 = + + + 1 1 2 2 m m 则称向量 是向量组A的线性组合， 或称向量 能由向量组A线性表示。