93泰数10公式 高等数学
高 等 数 学
、问题的提出 1.设f(x)在x处连续,则有 f(x)≈f(x0) Lf(x)=f(xo +a 2设f(x)在x0处可导,则有 f()af(o)+f(xo(x-xo f(x)=f(x0)+f(x0)(x-x0)+0(x-x0) 例如,当x很小时,ex≈1+x,ln(1+x)≈x (如下图)
一、问题的提出 1.设 f (x)在 0 x 处连续,则有 2.设 f (x)在 0 x 处可导,则有 例如, 当 x 很小时, e x x 1 + , ln(1 + x) x [ f (x) = f (x0 ) + ] [ ( ) ( ) ( )( ) ( )] 0 x0 x x0 o x x0 f x = f x + f − + − （如下图） ( ) ( ) 0 f x f x ( ) ( ) ( )( ) 0 x0 x x0 f x f x + f −
= y=In(1+x) 1+x D.5
x y = e y = 1+ x o x y = e o y = x y = ln(1 + x)
不足:1、精确度不高;2、误差不能估计 问题:寻找函数P(x),使得f(x)≈P(x) 误差R(x)=f(x)-P(x)可估计 设函数f(x)在含有x0的开区间a,b)内具有直到 (n+1)阶导数,P(x)为多项式函数 Pn(x)=a+a1(x-x)+a2(x-x0)2+…+an(x-x0) 误差R(x)=f(x)-P(x)
不足: 问题: 寻找函数P(x),使得 f (x) P(x) 误差 R(x) = f (x) − P(x) 可估计 1、精确度不高； 2、误差不能估计. 设函数 f ( x)在含有x0的开区间(a,b) 内具有直到 (n + 1)阶导数,P(x)为多项式函数 n Pn (x) a a (x x ) a (x x ) an (x x )0 2 = 0 + 1 − 0 + 2 − 0 ++ − 误差 R (x) f (x) P (x) n = − n
、P和R的确定 分析: 1若在x点相交 近似程度越来越 P,(o=f(o) y=f(r) 2若有相同的切线 P(o)=f(o) 好 3若弯曲方向相同 Pn(x0)=f"(x0)
二、Pn和Rn的确定 x0 y = f (x) o x y 分析: ( ) ( ) 0 x0 P x f n = ( ) ( ) 0 x0 P x f n = ( ) ( ) 0 x0 P x f n = 2.若有相同的切线 3.若弯曲方向相同 近 似 程 度 越 来 越 好 1.若在 x0 点相交
假设P(x0)=f(x)k=1,2,…,n an=f(x),1a1=f(x),2:a2=f"(x) ,!an=f"(x) 通过计算P(x0)=f6)(x0)k=1,2,…,n 得 1 f(k(xO 0)(k=0,1,2,…,n) ! 代入P(x)中得 Pn(x)=f(x0)+f(x0)(x-x0)+ f"(ol(x xa)2+ f(o X-d
假设 P x f x k n k k n ( ) ( ) 1,2, , 0 ( ) 0 ( ) = = ( ), 0 x0 a = f 代入P (x) n 中得 n n n x x n f x x x f x P x f x f x x x ( ) ! ( ) ( ) 2! ( ) ( ) ( ) ( )( ) 0 0 ( ) 2 0 0 0 0 0 + − − + = + − + 得 ( ) ( 0,1,2, , ) ! 1 0 ( ) f x k n k a k k = = 1 ( ), 1 0 a = f x 2! ( ) 2 x0 a = f , ! ( )0 ( ) n a f x n n = 通过计算P x f x k n k k n ( ) ( ) 1,2, , 0 ( ) 0 ( ) = =
三、泰勒( Taylor)中值定理 泰勒( Taylor)中值定理如果函数f(x)在含有x 的某个开区间(a,b)内具有直到(n+1阶的导数,则 当x在(a,b)内时,f(x)可以表示为(x-x0)的一个 n次多项式与一个余项R(x)之和 f(x)=f(x0)+f(x0)(x-x0)+ 2 0 0(x-x0)+R(x) (n+1) 其中Rn(x)= (2 (x-x0)在x0与之间)
三、泰勒(Taylor)中值定理 泰 勒(Taylor)中值定理 如果函数 f (x)在含有 0 x 的某个开区间(a,b)内具有直到(n + 1)阶的导数, ( ) ( ) ! ( ) ( ) 2! ( ) ( ) ( ) ( )( ) 0 0 ( ) 2 0 0 0 0 0 x x R x n f x x x f x f x f x f x x x n n n + + − + − = + − + 其中 1 0 ( 1) ( ) ( 1)! ( ) ( ) + + − + = n n n x x n f R x ( 在x0与x 之间). 则 当x在(a,b)内时, f (x)可以表示为( ) 0 x − x 的一个 n次多项式与一个余项R (x) n 之和:
证明:由假设,Rn(x)在(a,b)内具有直到(n+1)阶 导数,且 Rn(x0)=R(x0)=Rn(x0)=…=R0"(x0)=0 两函数Rn(x)及(x-x0)在以x0及x为端点的 区间上满足柯西中值定理的条件,得 R,(x) Rn(x)-r,(xo) n+I r- +1 X-x 0 Rn(51 (2在x与x之间) (n+1)(51-x
证明: 由假设,R (x) n 在(a,b)内具有直到(n + 1)阶 导数,且 两函数R (x) n 及 1 0 ( ) + − n x x 在 以 0 x 及 x为端点的 区间上满足柯西中值定理的条件,得 ( ) ( 1)( ) ( ) 0 1 0 1 在x 与x之间 n x R n n + − = ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 0 1 0 − − − = − + n+ n n n n x x R x R x x x R x ( ) ( ) ( ) ( 0 ) 0 ( ) R x0 = R x0 = R x0 = = R x = n n n n n
两函数Rn(x)及(n+1)(x-x0)”在以x0及5为端点 的区间上满足柯西中值定理的条件得 R(51 R,(51-RHCo) (n+1)(21-x0)(n+1)(51-x0)-0 Rl 2在x0与之间) n(n+1)(22-x0) 如此下去,经过(n+1)次后,得 (x-x+/s n( R,(x) R n n+ (在x0与En之间,也在x与x之间)
如此下去,经过(n + 1)次后,得 ( 1)( ) 0 ( ) ( ) ( 1)( ) ( ) 1 0 1 0 1 0 1 + − − − = + − n n n n n n x R R x n x R ( 1)! ( ) ( ) ( ) ( 1) 1 0 + = − + + n R x x R x n n n n (在x0与 n之 间,也在 0 x 与x 之间) ( ) ( 1)( ) ( ) 1 2 0 1 2 0 2 在 与 之间 x n n x R n n − + − = 两函数R (x) n 及 n (n 1)( x x ) 0 + − 在以x0及 1 为端点 的区间上满足柯西中值定理的条件,得
(n+1) (x)=0 Rot()=fo(x) 则由上式得 (n+1 R, ()= 1) (x-x0)(在x0与x之间) n Pn(x)=∑ f6(x0) -d 0k! 0 称为f(x)按(x-x)的幂展开的n次近似多项式 f(x)=3f(x) k X- R,() k=0k! 称为f(x)按(x-x0)的幂展开的n阶泰勒公式
= = − n k k k n x x k f x P x 0 0 0 ( ) ( ) ! ( ) ( ) 称为 f (x)按( ) x − x0 的幂展开的 n 次近似多项式 = = − + n k n k k x x R x k f x f x 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ! ( ) ( ) 称为 f (x)按( ) x − x0 的幂展开的 n 阶泰勒公式 ( ) ( ) ( ) 1 ! ( ) ( ) 0 1 0 ( 1) x x 在x 与x之间 n f R x n n n + + − + = 则由上式得( ) 0, ( 1) = + P x n n ( ) ( ) ( 1) ( 1) R x f x n n n + + =
