数的级值及其求法 高等数学
高 等 数 学
函数极值的定义 ax 0x2 x3 x4
一、函数极值的定义 o x y a b y = f (x) x1 2 x x3 4 x 5 x 6 x o x y o x y 0 x 0 x
定义设函数f(x)在区间(a,b内有定义,x是 (a,b内的一个点 如果存在着点x的一个邻域,对于这邻域内的 任何点x除了点x0外,f(x)f(x0)均成立 就称f(x0)是函数f(x)的一个极小值 函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得 极值的点称为极值点
( , ) , ( ) ( , ) , 0 内的一个点 设函数 在区间 内有定义 是 a b 定义 f x a b x 函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得 极值的点称为极值点. , , ( ) ( ) , , 0 0 0 任何点 除了点 外 均成立 如果存在着点 的一个邻域 对于这邻域内的 x x f x f x x , , ( ) ( ) , , 0 0 0 任何点 除了点 外 均成立 如果存在着点 的一个邻域 对于这邻域内的 x x f x f x x ( ) ( ) ; 就称f x0 是函数f x 的一个极大值 ( ) ( ) . 就称f x0 是函数f x 的一个极小值
函数极值的求法 定理1(必要条件)设f(x)在点x处具有导数,且 在x处取得极值,那末必定f(x0)=0 定义使导数为零的点即方程∫(x)=0的实根叫 做函数f(x)的驻点 注意:可导函数f(x)的极值点必定是它的驻点 但函数的驻点却不一定是极值点 例如,y=x3,yx=0=0,但x=0不是极值点
二、函数极值的求法 设 f (x)在点x0处具有导数,且 在x0处取得极值, 定理1(必要条件) 定义 ( ) . ( ( ) 0 ) 做函数 的驻点 使导数为零的点 即方程 的实根 叫 f x f x = 注意: 可导函数 f (x)的极值点必定是它的驻点, 例如, , 3 y = x 0, y x=0 = 但x = 0不是极值点. 那末必定 ( 0 ) 0 ' f x = . 但函数的驻点却不一定是极值点
定理2(第一充分条件) (1)如果x∈(x0-8,x0),有f(x)>0而x∈(x0,x0+6), 有f(x)0,则f(x)在x处取得极小值 (3)如果当x∈(x0-8,x0)及x∈(x0,x0+6)时,f(x) 符号相同,则f(x)在x处无极值 (是极值点情形
(1)如果 ( , ), x x0 − x0 有 ( ) 0; ' f x 而 ( , ) x x0 x0 + , 有 ( ) 0 ' f x ，则 f (x)在 0 x 处取得极大值. 定理2(第一充分条件) x y o x y x0 o 0 x + − − + (是极值点情形) (2)如果 ( , ), x x0 − x0 有 ( ) 0; ' f x 而 ( , ) x x0 x0 + 有 ( ) 0 ' f x ，则 f (x)在x0处取得极小值. (3)如果当 ( , ) x x0 − x0 及 ( , ) x x0 x0 + 时, ( ) ' f x 符号相同,则 f (x)在x0处无极值
(不是极值点情形) 求极值的步骤 (1)求导数f(x); (2)求驻点,即方程∫(x)=0的根; (3)检查f(x)在驻点左右的正负号,判断极值点; (4)求极值
x yo x yo 0 x 0 x + − − + 求极值的步骤 : (1) 求导数 f (x); (2)求驻点，即方程 f (x) = 0的根; (3) 检查 f (x) 在驻点左右的正负号,判断极值点; (4) 求极值. (不是极值点情形 )
例1求出函数∫(x)=x3-3x2-9x+5的极值 解∫(x)=3x2-6x-9=3(x+1)(x-3) 令∫(x)=0,得驻点x1=-1,x2=3.列表讨论 x(-∞,-1)-1(-1,3)3(3,+∞) 0 极 极 ∫(x)个 大 个 值 极大值f(-1)=10,极小值∫(3)=-22
例 1 解 ( ) 3 9 5 . 求出函数 f x = x3 − x2 − x + 的极值 ( ) 3 6 9 2 f x = x − x − 令 f (x) = 0， 1, 3. 得驻点 x1 = − x2 = 列表讨论 x (− , − 1 ) − 1 ( − 1 , 3 ) 3 (3,+ ) f ( x ) f ( x ) + − + 0 0 极大值 极小值 极大值 f ( − 1 ) = 10 , 极小值 f (3) = −22. = 3(x + 1)(x − 3)
∫(x)=x3-3x2-9x+5图形如下 M -10 -15
( ) 3 9 5 3 2 f x = x − x − x + M m 图形如下
定理3(第二充分条件)设f(x)在x处具有二阶导数 且f(x0)=0 f(x0)≠0,那末 (1)当f(x0)0时,函数f(x)在x处取得极小值 证(1)∵f"(x)=m f(x0+△x)-f(x) f(xn)=0, 当△x>0时,有f(x0+△x)<f(x)=0, 所以,函数f(x)在x处取得极大值.同理可证(2)
设 f (x)在x0处具有二阶导数, 且 ( 0 ) 0 ' f x = , ( 0 ) 0 '' f x , 那末 定理3(第二充分条件) 证 (1) x f x x f x f x x + − = → ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 0, 故f (x0 + x) − f (x0 )与x异号， 当x 0时， ( ) ( ) 0 x0 有f x + x f = 0, 当x 0时， ( ) ( ) 0 x0 有f x + x f = 0, 所以，函数 f (x)在x0 处取得极大值． 同理可证(2). (1)当 ( 0 ) 0 '' f x 时, 函数 f (x)在x0处取得极大值; (2)当 ( 0 ) 0 '' f x 时, 函数 f (x)在x0处取得极小值
例2求出函数∫(x)=x3+3x2-24x-20的极值 解f∫(x)=3x2+6x-24=3(x+4)(x-2) 令∫(x)=0,得驻点x1=-4,x2=2 f"(x)=6x+6, ∫"(-4)=-180,故极小值f(2)=-48 f(x)=x3+3x2-24x-20图形如下
例2 解 ( ) 3 24 20 . 求出函数 f x = x 3 + x 2 − x − 的极值 ( ) 3 6 24 2 f x = x + x − 令 f (x) = 0， 4, 2. 得驻点 x1 = − x2 = = 3(x + 4)( x − 2) f (x) = 6x + 6, f (−4) = −18 0, 故极大值 f (−4) = 60, f (2) = 18 0, 故极小值 f (2) = −48. ( ) 3 24 20 3 2 f x = x + x − x − 图形如下