窮2章随机向士 第2,1节随机向量及其分布 第2,2节随机向量的联合分布函数 返回
返回 第2章 随机向量 •第2.1节 随机向量及其分布 •第2.2节 随机向量的联合分布函数
第21节随机向量及其分布 1.n维随机向量 以n个随机变量X1,X2,,Xn为分量的向量 X=(X1X2,Xxn)称为n维随机向量 以下主要研究二维离散型及连续型随机向量的情形 2.二维离散型随机向量的联合概率分布、边缘概率分布 定义如果二维随机向量(XY)的全部取值数对为有限 个或至多可列个,则称随机向量(XY)为离散型的 易见,二维随机向量(X,Y)为离散型的等价于它的每个分量 Ⅹ与Y分别都是一维离散型的。 返回
返回 1. n 维随机向量 以 n 个随机变量 X1，X2，…，Xn 为分量的向量 X=(X1 ,X2 ,…,Xn )称为n维随机向量。 以下主要研究二维离散型及连续型随机向量的情形。 2. 二维离散型随机向量的联合概率分布、边缘概率分布 定义 如果二维随机向量（X,Y）的全部取值数对为有限 个或至多可列个，则称随机向量（X,Y）为离散型的。 易见，二维随机向量(X,Y)为离散型的等价于它的每个分量 X与Y分别都是一维离散型的。 第2.1节 随机向量及其分布
联合概率分布 称p=PXx,Y=y)(ij=1,2,…)为(X,Y)的联合概率分布.其 中E={(xy)i=1,2,}为(X,Y)的取值集合,表格形式如下: Y Y1 y2 p1P12 pli 2 P21 p p p p 联合概率分布性质 ③P{(XYED}=∑p y)∈D 返回
返回 称pij=P(X=xi ,Y=yj ),(i,j=1,2,…,)为(X,Y)的联合概率分布.其 中E={(xi ,yj ),i,j=1,2,...}为(X,Y)的取值集合,表格形式如下: X x1 x2 … x i … y1 y2 … y j … p11 p12 … p1j … p21 p22 … p2j … … … … … … pi1 pi2 … p i j … … … … … … Y ③P{(X,Y)∈D } = x y D ij i j p ( ) , 联合概率分布性质 ① pij≥0 ;i,j=1,2,… ②∑∑pij = 1; 联合概率分布
边缘概率分布 (1)定义随机向量X=(X1X2…Xn)中每一个X的分布, 称为X关于X的边缘分布 (2)边缘分布列 对于离散型随机向量(XY,分量XY的分布列称为 边缘分布列 若(X,Y)的联合概率分布为pP{X=x,Y=y)j=1,2 P(X→x)PX=x)∩/(Y=y,(i=1,2, ∑PX=x∩(Y=y,从=∑Px=x,Y=y)=∑P 同理P(Y=y1)=∑P(=12) 般地记:PX→)→PP(Yy)→P 概率分布表如下 返回
返回 (1) 定义 随机向量X=（X1 ,X2 ,…,Xn）中每一个Xi的分布， 称为X关于Xi的边缘分布。 (2) 边缘分布列 对于离散型随机向量(X,Y),分量X,Y的分布列称为 边缘分布列。 若(X,Y)的联合概率分布为pij=P{X=xi ,Y=yj ),i,j=1,2,...,则 P(X=xi )= = = j i j P{( X x ) [ (Y y )]} P{( X x ) (Y y )} j j = = i = = = = j i j P( X x ,Y y ) = j ij p (i=1,2,...) 同理 = = i j pij P(Y y ) 一般地,记: P(X=xi ) Pi . P(Y=yj ) P. j (j=1,2,...) 概率分布表如下: 边缘概率分布
x、|y1y2…y xuPu.pl p1 x2P21 P22"'p2j p Pn1p2∵∵P P;P1P.2…P 返回
返回 X Y . j y y y 1 2 i x x x 2 1 i1 i2 i j 2 1 2 2 2 j 1 1 1 2 1 j p p p p p p p p p pi. . 2. 1. i p p p j p. p.1 p.2 p. j
例2.1.1将一枚均匀的硬币抛掷4次Ⅹ表示正面向上□ 次数Y表示反面朝上次数,求(XY)的联合概率分布 解Ⅹ的所有可能取值为0,1,2,3,4,Y的所有可能取值为 0,12,3,4,因为X+Y=4,所以(X,Y)概率非零的数值对为 xYP(x=0,Y=4)=0.541/16 04P(X=1,Y=3)=C4×0.5×0.5 联合概率分布表为: 13 1/4 22P(x=2y=2)=C×053×052XX01234 6/16 00001/16 40P(X-3,Y=1)=c3×0.53×0.512 0001/40 006/1600 =14 01/4000 1/16 41/160000 联合概率分布表为超级联接 返回
返回 例2.1.1 将一枚均匀的硬币抛掷4次,X表示正面向上 次数,Y表示反面朝上次数,求(X,Y)的联合概率分布. 解 X的所有可能取值为0,1,2,3,4,Y的所有可能取值为 0,1,2,3,4,因为X+Y=4,所以(X,Y)概率非零的数值对为: X Y 0 4 1 3 2 2 3 1 4 0 P(X=0,Y=4)= 1 3 4 C 0.50.5 P(X=2,Y=2)= 2 2 2 C4 0.5 0.5 =1/4 =6/16 P(X=3,Y=1)= 3 3 1 4 C 0.5 0.5 =1/4 P(X=4,Y=0)= 0.54=1/16 X 0 1 2 3 4 Y 0 1 2 3 4 联合概率分布表为: 0 0 0 0 1/16 0 0 0 1/4 0 0 0 6/16 0 0 0 1/4 0 0 0 1/16 0 0 0 0 P(X=1,Y=3)= 0.54=1/16 联合概率分布表为超级联接
例2.1.2设随机变量Y~N(0,1)令 x=0.y≥1,(0.Y2求(X1X)的联合概率分布 Yk12=1.,|rk 解(X1,Ⅹ2)的取值数对为(0,0),(0,1)、(1,0)(1,1) P(X1=0,X2=0)P(Y1,Y2)=P(YE2) 1-P(Y|2)=2-2①(2=0.0455 P(X1=0,X2=1)=P(Y上1,Yk<2)=P(1≤Y2) P(2≤Y<1)+P(1Y<2)=2P(1Y<2)=2[2)(1)=0.2719 P(X1=1,X2=0)≥=P(Y<1,Y上2)=0 P(X1=1,X2=1)=P(Y<1,Y<2)=P(Y|<1)=2Φ(1)-1=0.6826 联合概率分布表为 0.04550.2719 0 0.6826 返回
返回 例2.1.2 设随机变量Y~N(0，1),令 = = 1, |Y | 2 0, |Y | 2 ,X 1, |Y | 1 0, |Y | 1 X1 2 解 (X1 ,X2 )的取值数对为(0,0),(0,1),(1,0),(1,1), P(X1=0,X2=0)=P(|Y|≥1,|Y|≥2) =P(|Y|≥2) =1-P(|Y|<2) =2-2Φ(2)=0.0455 P(X1=0,X2=1)=P(|Y|≥1,|Y|<2) =P(1≤|Y|<2) =P(-2≤Y<-1)+P(1≤Y<2) =2P(1≤Y<2) =2[Φ(2)-Φ(1)] =0.2719 P(X1=1,X2=0)=P(|Y|<1,|Y|≥2) =0 P(X1=1,X2=1)=P(|Y|<1,|Y|<2)=P(|Y|<1)=2Φ(1)-1 =0.6826 联合概率分布表为: X1 0 1 X2 0 1 0.0455 0.2719 0 0.6826 求(X1 ,X2 )的联合概率分布
例2.1.3二维随机向量(X,Y的联合概率分布为: 0 求(1)常数a的取值; 0.050.1 0 0.2 (2P(X>0,Y≤1); 结合下页概率分布图 a0.2::0.05 (3)P(X≤1,Y<1) 解(1)由∑p1=1得:a=0.1 2)由P(x,Y∈D=∑得P(X0￥Ys=P(X=y=0+ (x,y)∈D P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=0)+P(X=1,Y=1)=0.1+02+0.1+0.2=06 3)P(X≤1,Y<1)=P(X=-1,Y=0)+P(X=1,Y=1)+P(X=0,Y=0 +P(X=0Y=)+Px=1.Y=0)+PxX=1￥=)=075返回C(8
返回 例2.1.3 二维随机向量(X,Y)的联合概率分布为: X -1 0 1 Y 0 1 2 0.05 0.1 0.1 0.1 0.2 0.1 a 0.2 0.05 求:(1)常数a的取值; (2)P(X≥0,Y≤1); (3) P(X≤1,Y≤1) 解 (1)由∑pij=1得: a=0.1 (2)由P{(X,Y)∈D}= x y D ij i j p ( ) , 得 P(X≥0,Y≤1)= P(X=0,Y=0)+ P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=0)+P(X=1,Y=1)=0.1+0.2+0.1+0.2=0.6 (3)P(X≤1,Y≤1) =P(X=-1,Y=0)+P(X=-1,Y=1)+P(X=0,Y=0) +P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=0)+P(X=1,Y=1) =0.75 结 合 下 页 概 率 分 布 图
二维随机向量区域概率图 P(X≤1,y≤1 PX≥0,Y≤1} 0 返回
返回 X Y 二维随机向量区域概率图: -1 0 1 2 1 P(X≤1,Y≤1} P{X≥0,Y≤1}
例2.14设(XY)的联合概率分布为 求(1)X,Y的边缘分布 0 2)X+Y的概率分布 10050.10.1 解(1)由分析得: 0.10.2 0.10.20.05 P02504035 0 2)X+Y的取值为-1,0,12,3, 0.250.50.25 P(X+Y=-1)=P(X=1,Y=0)=0.05 P(X+Y=0=P(X=0,Y=0)+P(X=-1,Y=1)=0.2 P(X+Y=1)=P(X=0,￥=1)+P(X=1,Y=0)+P(X=-1,Y=2)=04 同理P(X+Y=2)=0.3,P(X+Y=3)=0.05 X+Y-10123 所以 P0.0502040.3005 返回
返回 例2.1.4 设(X,Y)的联合概率分布为: X -1 0 1 Y 0 1 2 0.05 0.1 0.1 0.1 0.2 0.1 0.1 0.2 0.05 求:(1)X,Y的边缘分布; (2)X+Y的概率分布. 解 (1)由分析得: X -1 0 1 P 0.25 0.4 0.35 Y 0 1 2 (2)X+Y的取值为-1,0,1,2,3, P 0.25 0.5 0.25 P(X+Y=-1)=P(X=-1,Y=0)=0.05 P(X+Y=0)=P(X=0,Y=0)+P(X=-1,Y=1)=0.2 P(X+Y=1)=P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=0) +P(X=-1,Y=2)=0.4 同理,P(X+Y=2)=0.3, X+Y -1 0 1 2 3 P 0.05 0.2 0.4 0.3 0.05 P(X+Y=3)=0.05 所以