主要内容 关d 系d y分=y分Ay=+0(△x) 基本公式 导数 微分 △y 高阶忌数 li 小y=y△x △x→>0△x 高阶微分 求导法则
求 导 法 则 基本公式 导 数 x y x →0 lim 微 分 dy = yx 关 系 y dy y dx y dy o( x) dx dy = = = + 高阶导数 高阶微分 一、主要内容
1、导数的定义 定义设函数y=f(x)在点x的某个邻域内有定义, 当自变量x在x处取得增量△x(点x0+△x仍在该邻域 内时,相应地函数y取得增量△y=f(x0+△x)-f(x0); 如果Ay与Ax之比当△x→0时的极限存在,则称函数 y=f(x)在点x0处可导,并称这个极限为函数y=f(x) 在点处的导数记为y,或 y'lxex =lin Dy=lim f(xo+ Ax)-f(xo) △x→>0△x△x-0 △v
1、导数的定义 在点 处的导数 记为 或 即 在点 处可导 并称这个极限为函数 如果 与 之比当 时的极限存在 则称函数 内 时 相应地函数 取得增量 当自变量 在 处取得增量 点 仍在该邻域 设函数 在点 的某个邻域内有定义 , ( ) , , ( ) , ( ) 0 , ) , ( ) ( ); ( ( ) , 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 x x x x x x dx df x dx dy x y y f x x y f x y x x y y f x x f x x x x x x y f x x = = = = = → = + − + 定义 = . ( ) ( ) lim lim 0 0 0 0 0 x f x x f x x y y x x x x + − = = → → =
单侧导数 1左导数: f∫(x)-∫( f(xo+△x)-f(x0) ∫"(x0)=lim li m △x 2右导数: f(o=lil f(x)-f( x0)_mf(x0+△x)-f(xn) x→xa+0 x-x △x→+0 △v 函数f(x)在点x0处可导兮左导数f(x0)和右 导数f(x0)都存在且相等
2.右导数: 单侧导数 1.左导数: ; ( ) ( ) lim ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 0 0 0 0 x f x x f x x x f x f x f x x x x + − = − − = → − →− − ; ( ) ( ) lim ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 0 0 0 0 x f x x f x x x f x f x f x x x x + − = − − = → + →+ + 函数 f (x)在点x0 处可导左导数 ( ) x0 f − 和右 导数 ( ) x0 f + 都存在且相等
2、基本导数公式(常数和基本初等函数的导数公式) (C)=0 (xy=μux-1 (sin x)=cosx cos -sIn d (tan x)=secx (cotx)=-csc"x (sec x)= sec xtgx (csce cSc ector (a)=a Ina (loga rr's I xIn a 1 (arcsin x) (arccos)'=- 1 (arctan x) arccotrr's、t 1+x 1+
2、基本导数公式 2 2 2 1 1 (arctan ) 1 1 (arcsin ) ln 1 (log ) ( ) ln (sec ) sec (tan ) sec (sin ) cos ( ) 0 x x x x x a x a a a x xtgx x x x x C a x x + = − = = = = = = = （常数和基本初等函数的导数公式） 2 2 2 1 1 1 ( cot ) 1 1 (arccos ) 1 (ln ) ( ) (csc ) csc (cot ) csc (cos ) sin ( ) x x x x x x e e x xctgx x x x x x x x x + = − − = − = = = − = − = − = − arc
3、求导法则 (1)函数的和、差、积、商的求导法则 设u=u(x),p=v(x)可导,则 (1)(a±v)'=n'±v',(2)(cu)’=cw'是常数) (3)(uv)='y+uv',(4) (v≠0) (2)反函数的求导法则 如果函数x=(y)的反函数为y=f(x),则有 f(r) p(x)
3、求导法则 设u = u(x), v = v(x)可导，则 （1）(u v) = u v, （2）(cu) = cuc( 是常数), （3）(uv) = uv + uv, （4）( ) ( 0) 2 − = v v u v uv v u . (1) 函数的和、差、积、商的求导法则 (2) 反函数的求导法则 . ( ) 1 ( ) ( ) ( ), x f x x y y f x = 如果函数 = 的反函数为 = 则有
(3)复合函数的求导法则 设y=f(u),而u=(x)则复合函数y=/(x)的导数为 中如.血或y(x)=f(m)q(x) dx du dx (4)对数求导法 先在方程两边取对数然后利用隐函数的求导方法 求出导数 适用范围: 多个函数相乘和幂指函数u(x)x)的情形
(3) 复合函数的求导法则 ( ) ( ) ( ). ( ), ( ) [ ( )] y x f u x dx du du dy dx dy y f u u x y f x = = = = = 或 设 而 则复合函数 的导数为 (4) 对数求导法 先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法 求出导数. 适用范围: ( ) . 多个函数相乘和幂指函数u x v( x)的情形
(5)隐函数求导法则 用复合函数求导法则直接对方程两边求导 (6)参变量函数的求导法则 若参数方程 「x=q(t) 确定y与x间的函数关系, y=y(t) d dy_dt_y(o. dy y (t)o'(t-y(to"(t) dx dx q°(t) dt
(5) 隐函数求导法则 用复合函数求导法则直接对方程两边求导. , ( ) ( ) 若参数方程 确定y与x间的函数关系 y t x t = = ; ( ) ( ) t t dt dx dt dy dx dy = = . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 2 t t t t t dx d y − = (6) 参变量函数的求导法则
4、高阶导数(二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数) 二阶导数(f(x)=lim f(x+△x)-f(x) △x→>0 △ 记作f”(x),y42f(x) d dx d 二阶导数的导数称为三阶导数,f"(x),y, 般地函数f(x)的n-1阶导数的导数称为 函数f(x)的n阶导数,记作 f“∠(n)d""/) dx dx
4、高阶导数 , ( ) ( ) ( ( )) lim 0 x f x x f x f x x + − = → 二阶导数 记作 . ( ) ( ), , 2 2 2 2 dx d f x dx d y f x y 或 ( ), , . 3 3 dx d y 二阶导数的导数称为三阶导数 f x y , 函数 的 阶导数 记作 一般地 函数 的 阶导数的导数称为 ( ) , , ( ) 1 f x n f x n − . ( ) ( ), , ( ) ( ) n n n n n n dx d f x dx d y f x y 或 (二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数)
5、微分的定义 定义设函数y=f(x)在某区间内有定义,x0及x0+△x 在这区间内,如果 Ay=f(x0+△x)-f(x0)=A·△x+0(△x) 成立(其中A是与△x无关的常数),则称函数y=f(x) 在点x可微,并且称4△x为函数y=f(x)在点x0相应 于自变量增量△的微分,记作小x=或(x),即 dx=xn=A·△x 微分叫做函数增量Ay的线性主部.(微分的实质)
5、微分的定义 定义 . , ( ), , ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ) , ( ) , 0 0 0 0 0 0 0 0 0 dy A x x dy df x x A x y f x x A x y f x y f x x f x A x o x y f x x x x x x x x = = = = + − = + = + = 于自变量增量 的微分 记作 = 或 即 在点 可微 并且称 为函数 在点 相应 成立 其中 是与 无关的常数 则称函数 在这区间内 如果 设函数 在某区间内有定义 及 微分dy叫做函数增量y的线性主部. (微分的实质)
6、导数与微分的关系 定理函数f(x)在点x0可微的充要条件是函数f(x) 在点x0处可导,且A=f(x0) 7、微分的求法 小y=∫(x)dx 求法:计算函数的导数乘以自变量的微分
6、导数与微分的关系 , ( ). ( ) ( ) 0 0 0 x A f x f x x f x 在点 处可导 且 = 定理 函数 在点 可微的充要条件是函数 7、 微分的求法 dy = f (x)dx 求法:计算函数的导数,乘以自变量的微分