第3章数宇特征 第3.1节随机变量的数字特征 °第3.2节随机向量的数字特征 第33节大数定律与中心极限定理 返回
返回 第3章 数字特征 •第3.1节 随机变量的数字特征 •第3.2节 随机向量的数字特征 •第3.3节 大数定律与中心极限定理
第3.1节随机变量的数字特征口 例检验两批灯泡的质量从中分别随机抽样5 测得使用寿命(单位:小时)如下 A:2000150010005001000 B:15001500100010001000: 试比较这两批灯泡质量的好坏 计算得:平均寿命分别为A:1200,B:1200 数学期望 方差 观察得:A中使用寿命偏离较大,B中使用寿命偏离较小 所以B产品质量较好 返回
返回 例 检验两批灯泡的质量,从中分别随机抽样5只, 测得使用寿命(单位：小时)如下: A: 2000 1500 1000 500 1000; B: 1500 1500 1000 1000 1000; 试比较这两批灯泡质量的好坏. 计算得: 平均寿命分别为:A:1200, B:1200, 观察得: A中使用寿命偏离较大,B中使用寿命偏离较小, 所以,B产品质量较好. 数学期望 方差 第3.1节 随机变量的数字特征
1.数学期望 某商场准备搞一场促销活动统计资料表明,若在商场内 搞活动可获经济效益3万元在商场外搞活动,不遇到雨 天可获经济效益12万元,雨天则带来经济损失5万元若 设在商场外搞促销活动获经济效益为随机变量Ⅹ,其概 率分布为 P(X=12)=0.6,P(X=5)=0.4 商场外搞促销活动的平均经济效益为 12×0.6-5×0.4=52万元 平均效益的计算方法就是离散型随机变量数学期望 的计算方法 返回
返回 某商场准备搞一场促销活动 .统计资料表明,若在商场内 搞活动,可获经济效益3万元;在商场外搞活动,不遇到雨 天可获经济效益12万元,雨天则带来经济损失5万元.若 设在商场外搞促销活动获经济效益为随机变量X,其概 率分布为 P(X=12)=0.6,P(X=-5)=0.4 商场外搞促销活动的平均经济效益为 12×0.6-5×0.4=5.2万元 平均效益的计算方法就是离散型随机变量数学期望 的计算方法. 1. 数学期望
(1)离散型随机变量的数学期望 定义设离散型随机变量X的概率分布为P(X=xn)=pnn=1,2 若级数∑x,Pn绝对收敛则称该级数为X的数学期望,记为 EX 若∑xPn非绝对收敛即级数∑xnP发散 则称X的数学期望不存在 例如 X|-10|1|2 P0.20.1040.3 则EX=∑xPn=-1×02+0×0.1+1×04+2×03=0.8 注意数学期望反映了随机变量取值的平均值 它是一种加权平均 返回
返回 定义 设离散型随机变量X的概率分布为P(X=xn )=pn ,n=1,2,..., 若级数 绝对收敛,则称该级数为X的数学期望,记为 n n pn x EX= n xn pn 若 n n pn x 非绝对收敛,即级数 n n pn | x | 发散, 则称X的数学期望不存在. 例如 X -1 0 1 2 P 0.2 0.1 0.4 0.3 则 EX= n n pn x =-1×0.2+0×0.1+1×0.4+2×0.3=0.8 注意 数学期望反映了随机变量取值的平均值, 它是一种加权平均. (1) 离散型随机变量的数学期望
计算可得 (1)若X服从参数为p的0-1分布则EX=p; (2)若Ⅹ~B(np),则EXnp; (3)若X服从参数为的泊松分布则EX=2 返回
返回 计算可得 (1)若X服从参数为p的0-1分布,则EX=p; (2)若X~B(n,p),则EX=np; (3)若X服从参数为λ的泊松分布,则EX= λ
例31.1某种产品的每件表面上的疵点数服从泊松國□ 分布,平均每件上有0.8个疵点规定疵点数不超过1个为一等 品价值10元疵点数大于1个不多于4个为二等品,价值8元疵 点数超过4个为废品,求(1)产品废品率(2)产品价值的平均值 解(1)设X表示每件产品上的疵点数,则X服从λ=0.8的泊松 分布EX=0.8产品的废品率为 4、0.8508=000141 P(X>4)=1-P(X≤4)=1-∑e k=0 (2)设产品的价值为随机变量Y,则Y的概率分布为 Y 10 0 P|P(xX4) EY=10×P(X≤1)+8×P(14)=961元m 返回
返回 例3.1.1 某种产品的每件表面上的疵点数服从泊松 分布,平均每件上有0.8个疵点.规定疵点数不超过1个为一等 品,价值10元;疵点数大于1个不多于4个为二等品,价值8元;疵 点数超过4个为废品,求(1)产品废品率;(2)产品价值的平均值. 解 (1) 设X表示每件产品上的疵点数,则X服从λ=0.8的泊松 分布,EX=0.8,产品的废品率为 = − = − = − = 4 0 0.8 0.001412 ! 0.8 ( 4) 1 ( 4) 1 k k e k P X P X (2) 设产品的价值为随机变量Y,则Y的概率分布为 Y 10 8 0 P P(X≤1) P(14) EY=10×P(X≤1)+8×P(14) =9.61元
例31.2某电子元件使用寿命xf(x)=1bDmx□ 0 <0 使用寿命在500小时以下为废品,产值0元:500到1000小时之间 为次品,产值10元;1000到1500小时之间为二等品,产值30 元1500小时以上为一等品,产值为40元,求产品的平均产值 解设Y表示产值,Y取值为0,10,30,40, P(Y0)P(X<500=(x=m1cmt=1e05 b1000 P(Y=10P500≤X<1000) 1000c=e03e 5001000 类似可得:P(Y=30)=e1-e-15,P(Y=40=e15 EY=0×(1e05)+10×(e05-e1)+30×(e1-e1.5)+40×e15 =1565(元) 返回
返回 例3.1.2 某电子元件使用寿命X~ = − 0 0 0 1000 1 ( ) 1000 x e x f x x 使用寿命在500小时以下为废品,产值0元;500到1000小时之间 为次品,产值10元;1000到1500小时之间为二等品,产值30 元;1500小时以上为一等品,产值为40元,求产品的平均产值. 解 设Y表示产值,Y取值为0,10,30,40, P(Y=0)= P(X<500) − = 500 f ( x )dx − = 500 0 1000 x e dx 1000 1 =1-e -0.5 P(Y=10)= P(500≤X<1000) − = 1000 500 1000 x e dx 1000 1 =e-0.5 -e -1 类似可得: P(Y=30)=e-1 -e -1.5 , P(Y=40)=e-1.5 EY=0× (1-e -0.5)+10 × (e-0.5 -e -1 )+30×( e-1 -e -1.5 )+40× e -1.5 =15.65(元)
(2)连续型随机变量的数学期望 定义设x是连续型随机变量x-(x)若」x(x)女 绝对收敛,则称该积分为X的数学期望,记为 EX- xf(x)dx 否则称X的数学期望不存在 例3.13若X服从[ab]区间上的均匀分布,求EX 解 x∈a b X-f(x)=b 0 其它 所以EX=x(x=x1bn212m b a+b b 返回
返回 定义 设X是连续型随机变量,X~f(x),若 + − xf( x )dx 绝对收敛,则称该积分为X的数学期望,记为: EX= + − xf( x )dx 例3.1.3 若X服从[a,b]区间上的均匀分布,求EX. = − 0 其它 [ , ] 1 ~ ( ) x a b X f x b a 所以 EX= + − xf( x )dx − = b a dx b a 1 x a b x 2 1 b a 1 2 − = 2 a + b = 解 否则称X的数学期望不存在. (2) 连续型随机变量的数学期望
例3.1.4设随机变量X服从参数为的指数分布,求EX 解X的概率密度函数为f(my=ea x>0 0 x+0e lim n dx x→)+0 类似计算可得:若X-N(μ,J2),则EX=p 返回
返回 例3.1.4 设随机变量X服从参数为λ的指数分布,求EX. 解 X的概率密度函数为 = − 0 0 0 ( ) x e x f x x 所以, EX= + − xf( x )dx + − = 0 xe dx x + − + − = − + 0 x e 0 e dx x x + − + 0 1 e dx x 类似计算可得: 若X~N(μ,σ2 ), 则EX= μ. 1 = + − = − 0 x x d( e ) x x e x = − →+ lim x x e 1 = lim − →+ + − + 0 1 e dx x
例31.5设随机变量X~f(x),EX=7/12,且 ax+b0≤x≤1 f(x) o其 求a与b的值,并求分布函数F(x 解 f(x)dx=l(ax+b)dx=0+b=1 a b 7 EX ∫ xf(x dx=Lx(ax+b )dx 3212 解方程组得a=1.b=1/2 当x<O时F(x)=0;当x1时F(x) 当0≤x<1时,F(x) X f(t=(t+)t=+ 0 X< 所以F(x) 0≤x< x≥1 返回
返回 例3.1.5 设随机变量X~f(x),EX=7/12,且 + = 0 其它 0 1 ( ) ax b x f x 求a与b的值,并求分布函数F(x). 解 1 2 ( ) ( ) 1 0 = + = + = + − b a f x dx ax b dx 12 7 3 2 ( ) ( ) 1 0 = = + = + = + − a b EX x f x dx x ax b dx 解方程组得 a=1,b=1/2 当x<0时,F( x)=0; 当0≤x<1时, 2 2 ) 2 1 ( ) ( ) ( 2 0 x x F x f t dt t dt x x = = + = + − 当x≥1时,F(x)=1; 所以 + = 1 1 0 1 2 2 0 0 ( ) 2 x x x x x F x