《高等数学》课程教学资源：第二章 导数与微分（2.8）微分在近似计算中的应用

8微分在计算中的应用 高等数学

高 等 数 学

计算函数增量的近似值 若y=f(x)在点x处的导数f(x0)≠0,且 △x很小时, △ x=xo dy x=x0 0 例1半径10厘米的金属圆片加热后,半径伸长了 0.05厘米,问面积增大了多少? 解设A=r2,r=10厘米,△r=0.05厘米 △4≈dA=2m△=2兀×10×0.05=π(厘米2)

一、计算函数增量的近似值 , ( ) ( ) 0, 0 0 很小时 若 在点 处的导数 且 x y f x x f x     例1 0.05 , ? 10 , 厘米 问面积增大了多少 半径 厘米的金属圆片加热后 半径伸长了 解 , 2 设A  r r  10厘米, r  0.05厘米.  A  dA  2r  r  2 10 0.05 ( ). 厘米2   ( ) . 0  f  x  x 0 0 x x x x y dy    

二、计算函数的近似值 1求f(x)在点x=x0附近的近似值; △y=f(x0+△x)-f(x0)≈f(x0)·△x f(x0+△x)≈f(x0)+f(x0)△x.(Ax很小时) 2求f(x)在点x=0附近的近似值; 令x0=0,△x=x f(x0+△x)≈f(x)+f(x0)4r, f(x)≈f(0)+f'(0)·x

二、计算函数的近似值 1. ( ) ; 求f x 在点x  x0附近的近似值 ( ) ( ) 0 0 y  f x  x  f x ( ) . 0  f  x  x ( ) ( ) ( ) . 0 0 0 f x  x  f x  f  x  x ( x很小时) 2.求f ( x)在点x  0附近的近似值;  f ( x)  f (0)  f (0) x. ( ) ( ) ( ) , 0 0 0  f x  x  f x  f  x  x 0, . 0 令 x  x  x

例1计算c0s6030的近似值 解设f(x)=cosx,:∫(x)=-sinx,(x为弧度) T 0 3 360 3 f∫()=,∫ 2 cos60°30=c0s(+ T )≈cos-sin 3360 3 3360 1√3兀 0.4924. 22360

. 2 3 ) 3 , ( 2 1 ) 3 (        f f ) 3 360 cos60 30 cos( o       3 360 sin 3 cos       2 360 3 2 1      0.4924. 例1 cos60 30 . 计算 o 的近似值 解 设f ( x)  cos x,  f ( x)   sin x, ( x为弧度) , 360 , 3 0      x  x

常用近似公式(x很小时) (1)1+x≈1+-x;(2)sinx≈x(x为弧度 (3)tanx≈x(x为弧度);(4)e≈1+x; (5)ln(1+x)≈x. 证明(1设∫(x)=1+x,∫(x)=(1+x) f(0)=1,f'(0)= ∴∫(x)≈∫(0)+f∫(0)x=1+

常用近似公式 ( x很小时) ; 1 (1) 1 1 x n x n    证明 (1) ( ) 1 , n 设 f x   x (1 ) , 1 ( ) 1 1    n x n f x . 1 (0) 1, (0) n f  f    f ( x)  f (0)  f (0)x 1 . n x   (2) sin x  x (x为弧度); (3) tan x  x (x为弧度); (4) e 1 x; x   (5) ln(1 x)  x

例2计算下列各数的近似值. (1)3998.5;(2) -0.03 解(1)39985=31000-1.5 1.5 31000 )=103/1-0.0015 1000 ≈10~ ×0.0015)=9995. 0.03 ≈1-003=0.97

例2 计算下列各数的近似值 . 解 (1) 998.5; (2) . 3 0.03 e 3 3 (1) 998.5  1000  1.5 3 ) 1000 1.5  1000(1  3  10 1  0.0015 0.0015) 3 1  10(1    9.995. (2) 1 0.03 0.03    e  0.97

、误差估计 由于测量仪器的精度、测量的条件和测量的方法 等各种因素的影响,测得的数据往往带有误差, 而根据带有误差的数据计算所得的结果也会有误 差,我们把它叫做间接测量误差 定义:如果某个量的精度值为A,它的近似值 为a,那末A-a叫做a的绝对误差 而绝对误差与a的比像人A-am做的相对误差 问题:在实际工作中,绝对误差与相对误差无法求得?

三、误差估计 由于测量仪器的精度、测量的条件和测量的方法 等各种因素的影响，测得的数据往往带有误差， 而根据带有误差的数据计算所得的结果也会有误 差，我们把它叫做间接测量误差. 定义： , . , 为 那末 叫做 的绝对误差 如果某个量的精度值为 它的近似值 a A a a A  而绝对误差与 的比值 叫做a的相对误差. a A a a  问题:在实际工作中,绝对误差与相对误差无法求得?

办法:将误差确定在某一个范围内 如果某个量的精度值是A,测得它的近似值是a, 又知道它的误差不超过8,即 A-a≤8 As 那末δ叫做测量A的绝对误差限,而叫做测量 A的相对误差限 通常把绝对误差限与相对误差限简称为绝对误 差与相对误差

办法:将误差确定在某一个范围内. . , , , , , 的相对误差限 那末 叫做测量 的绝对误差限 而 叫做测量 又知道它的误差不超过 即 如果某个量的精度值是 测得它的近似值是 A a A A a A a A A A A       通常把绝对误差限与相对误差限简称为绝对误 差与相对误差

例3正方形边长为241±0.005米,求出它的面积, 并估计绝对误差与相对误差 解设正方形边长为x,面积为y,则y=x2 当x=24时,y=(241)2=58081(m2) J x=2.41 2xx=24=4.82. 边长的绝对误差为δ,=0.005, 面积的绝对误差为6=482×0.005=0.0241(m2) 6 面积的相对误差为 0.0241 ≈0.4% y58081

例3 . 2.41 0.005 , , 并估计绝对误差与相对 误差 正方形边长为  米 求出它的面积 解 设正方形边长为x,面积为y,则 . 2 y  x 当x  2.41时, (2.41) 5.8081( ). 2 2 y   m 2.41 2.41 2     x x y x  4.82.  0.005, 边长的绝对误差为  x   4.82  0.005 面积的绝对误差为  y 0.0241 ( ). 2  m y  y 面积的相对误差为 5.8081 0.0241   0.4%

四、小结 近似计算的基本公式 当△x很小时, Ayx= c dy=xn=f(x0)·△x f(x)af(xo)+f(o)(x-xo), 当x=0时, f(x)≈f(0)+f(0)·x

四、小结 近似计算的基本公式 f (x)  f (0)  f (0) x. 0 0 x x x x y dy     ( ) . 0  f  x  x ( ) ( ) ( ) ( ), 0 0 0 f x  f x  f  x  x  x 当x很小时, 当x  0时