反就的民一合的大导 高等数学
高 等 数 学
、反函数的导数 定理如果函数x=0(y)在某区间内单调、可导,且o(y)≠0 那末它的反函数y=f(x)在对应区间内也可导, 且有f(x)1 (x) 即反函数的导数等于直接函数导数的倒数
一、反函数的导数 定理 x = (y) I , (y) 0 如果函数 在某区间 y 内单调、可导 且 即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数. 那末它的反函数 ( )在对应区间 内也可导, x y = f x I . ( ) 1 ( ) x f x 且有 =
证明:条件:函数x=0()在某区间内单调、可导 且9(y)≠0 结论:反函 数的导数等 取∨x∈Ⅰ,给x以增量Δx 于直接函数 (△x≠0,x+△x∈Ix 导数的倒数 由y=f(x)的单调性可知4y≠0, 于是有tAy_1 f(x)= o'(y) △x△x 介即 又有f(x lim A→0△xq(y) 连续 ∴△y→0(Ax→>0), △y 又知φ(y)≠0 f(r)=lim 4y △x→>0△x
证明： , x 取 x I 给x以增量x 由y = f (x)的单调性可知 y 0, 于是有 , 1y x x y = 连续 又有f ( x ) y → 0 (x → 0), 又知( y) 0 xy f x x = →0 ( ) lim y y x = → 1 lim0 ( ) 1 y = . ( ) 1 ( ) y f x = ( 0, ) x x x + x I 结论：反函 数的导数等 于直接函数 导数的倒数 . ( ) 0( ) =yx y I y 且 条件：函数 在某区间 内单调、可导 ？ 即
例1求函数y= arcsin x的导数 解∵x=sin在n∈( T兀 22内单调、可导, 且(siny)′=cosy>0,∴在Ix∈(-1,1)内有 (arcsine) siny)’cosy 1-sin y 同理可得 (arccos x) (arctan x) (arccot x) 1+x 1+x 2
例1 求函数 y = arcsin x的导数. 解 ) , 2 , 2 sin 在 ( 内单调、可导 x = y I y − 且 (sin y) = cos y 0, 在I x (−1,1)内有 (sin ) 1 (arcsin ) = y x cos y 1 = y 2 1 sin 1 − = . 1 1 2 − x = . 1 1 (arccos ) 2 x x − 同理可得 = − ; 1 1 (arctan ) 2 x x + = (arcsin x) . 1 1 ( cot ) 2 x x + arc = −
例2求函数y= log, x的导数 解∵x=a”在/,∈(-∞,+0)内单调、可导, 且(a")'=ana≠0,∴在/2∈(0,+∞)内有, (log x= (a") aIna xIna 特别地(nx)=
例2 求函数 y log x的导数. = a (a ) = a ln a 0, 且 y y 在 (0,+)内有, x I ( ) 1 (log ) = a y a x a a y ln 1 = . ln 1 x a = 解 = 在 (− ,+ )内单调、可导, y y x a I 特别地 . 1 (ln ) x x =
二、复合函数的求导法 定理:如果函数=0(x)在点x可导 而y=f()在点l=0(x)可导, 则复合函数y=(x)在点x可导 且其导数为 =f(a0)·(x0) dx 即因变量对自变量求导,等于因变量对中间变 量求导,乘以中间变量对自变量求导.(链式法则)
二、复合函数的求导法 定理： ( ) , 如果函数u = x 在点 x0 可导 即 因变量对自变量求导,等于因变量对中间变 量求导,乘以中间变量对自变量求导.(链式法则) [ ( )] , 则复合函数 y = f x 在点x0 可导 ( ) ( ) , 而y = f u 在点u0 = x0 可导 ( ) ( ). 0 0 0 f u x dx dy x x = 且其导数为 =
证明 条件:函数=9(x)在点x可导,而y=f(u) 在点0=9(x0)可导 由y=f()在点可导结论:y=(x)在点 x可导,且其导数 △y =f(uo) △→>0△tt 为 =f'(0)·q’(xo) 即=f(40)+a(lma=0) dx △ A→>0 介=fa)9 Ay=f"(u0)A+a△ f(4)in△n △ +lim a lim →0△x 0△ △△u limf(uo)+a 4x→>0△x△x→>0 △△x
证明： 由y = f (u)在点u0 可导 lim ( ) 0 0 f u u y u = → ( ) (lim 0) 0 = 0 + = → u f u u y 即 y = f (u0 )u +u x y x →0 lim lim[ ( ) ] 0 0 x u x u f u x + = → x u x u f u x x x + = →0 →0 →0 0 ( ) lim lim lim ( ) ( ). u0 x0 = f 在点 可导 条件：函数 在点 可导 而 ( ) ( ) , ( ) 0 0 0 u x u x x y f u = = = ( ) ( ) , [ ( )] 0 0 0 0 f u x dx dy x y f x x x = = 为 = 可导 且其导数 结论： 在点 ？
推广设y=∫(n),u=q(v),w=v(x) 则复合函数y=f{qy(x)的导数为 中d dx du dy d 例3求函数y= In sin x的导数 解∵y=lnu,u=sinx dy dy du 1 dx du d (sin x) cos =cotr SIn
推广 设 y = f (u), u = (v), v =(x), . { [ ( )]} dx dv dv du du dy dx dy y f x = 则复合函数 = 的导数为 例3 求函数 y = lnsin x的导数. 解 y = ln u, u = sin x. dx du du dy dx dy = x u cos 1 = x x sin cos = = cot x (sin ) 1 = x u
例4求函数y=(x2+1)0的导数 解 10( x2+1)·(x2+ =10(x2+1)0·2x=20x(x2+1) 例5求函数y= -x+—arsn 1-的导数 2 2 (a>0) 解 y=(vaf-x)+(arcsin 2 +ovat-x)+(arcsin 2 a2-x2+() )(a2-x2)+ 2 C 2 2√a2-x22a2-x
例 4 ( 1) . 求函数 y = x2 + 1 0 的导数 解 10( 1) ( 1) 2 9 2 = x + x + dx dy 10 ( x 1 ) 2 x 2 9 = + 20 ( 1 ) . 2 9 = x x + 例 5 arcsin . 2 22 求函数 2 2 的导数 a a x a x x y = − + 解 arcsin ) 2 ) ( 2( 2 2 2 = − + a a x a x x y 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 21 a x a a x x a x − + − = − −. 2 2 = a − x (a 0) (arcsin ) 2 )( )' 2 )' ( 2( 2 2 2 2 2 = − + − + a a x a x x a x x 2 2 21 = a − x ( )' 1 ( ) 1 2 2 2 ax ax a − )( )' + 2 1 )( 2 ( 2 2 2 2 a x a x x − − +
例6求函数y=n x2+1 3x-2 (x>2)的导数 解∵y=In(x2+1)-1n(x-2) (x2+1) (x-2) 2x2+1 3x-2 2x 2x2+1 3(x-2)x2+13(x-2) SIn 例7求函数y=ex的导数 1 解 sIn e SIn =ex·coS xx SIn e cos
例 6 ( 2) . 21 ln 3 2 求函数 的导数 −+ = x xx y 解 ln( 2), 31 ln( 1) 21 2 y = x + − x − 3 ( 2 ) 1 2 1 1 21 2 − − + = x x x 3( 2) 1 1 2 − − + = x x x 例 7 . 1 sin 求函数 y = e x 的导数 解 ) 1 (sin 1 sin = x y e x ) 1( 1 cos 1 sin = x x e x . 1 cos 1 1 sin 2 x e x x = − ( 2)', 2 1 31 ( 1)' 1 1 21 ' 2 2 − − + − + = x x x x y