《线性代数》第二章 矩阵（2.4）矩阵的分块

四.矩阵的分块 分块矩阵的定义 2.分块矩阵的运算规则 1.分块矩阵的定义 对于行数和列数较高的矩阵A,为了 简化运算,经常采用分块法,使大矩阵的 运算化成小矩阵的运算.具体做法是:将 矩阵A用若干条纵线和横线分成许多个小 矩阵,每一个小矩阵称为A的子块,以子 块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵

1 对于行数和列数较高的矩阵 ，为了 简化运算，经常采用分块法，使大矩阵的 运算化成小矩阵的运算. 具体做法是：将 矩阵 用若干条纵线和横线分成许多个小 矩阵，每一个小矩阵称为 的子块，以子 块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵. A A A 四. 矩阵的分块. 1. 分块矩阵的定义 2. 分块矩阵的运算规则 1. 分块矩阵的定义

100 B 0a00 例:A B B 011b B 0 B B 011b 2

2 , 321   = BBB   = b b a a A 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 例：   A = a 1 0 0b a 0 1 1 0 0 0 0 1 1 b   = B 1 B 2 B 3 即

0 0 001 0…01 b A 0010 00b1 2

3   = b b a a A 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 , 3 4 1 2   = C C C C   =  A = a 1 C 1 0 0 C 2 0 1 1 0 0 a C 3 b b1 1 0 0 C4 即

l:00 0a:00 ■■■■■■■ ,其中 e B 01 1:0:0 0:a:0:0 =(A1A2A3A其中4 1:0b1 0:11沥

4 ,      = E B A O ( ), = A1 A2 A3 A4               = b b a a A 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0               = b b a a A 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0       = a a A 0 1 其中       = b b B 1 1       = 0 1 1 0 E       = 0 0 0 0 O               = 0 1 0 1 a 其中A               = 1 0 1 2 a A               = 1 0 0 3 b A               = b A 1 0 0 4

2.分块矩阵的运算规则 (1)设矩阵A与B的行数相同,列数相同,采用 相同的分块法,有 11 B 11 B A :,B B B 其中A1与B的行数相同列数相同那末 1+B1 A,.+B 1 A+B A.,+B 1 1 tB

5 ( ) 相同的分块法 有 设矩阵 与 的行数相同 列数相同 采用 , 1 A B , , 其中Aij与Bij的行数相同,列数相同,那末 . 1 1 1 1 1 1 1 1           + + + + + = s s sr sr r r A B A B A B A B A B               =           = s sr r s sr r B B B B B A A A A A         1 1 1 1 1 1 1 1 , 2. 分块矩阵的运算规则

11 (2)设A= ,x为数那末 41 A4, 2A ZA

6 (2)设 , 为数,那末 1 1 1 1            = s sr r A A A A A     . 1 11 1           = s sr r A A A A A         

2 例=2,A=321 5 6 1×22×23×2 2A=3×22×21×2 4×25×26×2 446 81012

7 例   = 4 5 6 3 2 1 1 2 3  = 2 , A 2 2 2 2 2 2 2 2 2            = 4 5 6 3 2 1 1 2 3 2 A . 8 10 12 6 4 2 4 4 6   =

(3)设4为m×矩阵B为xn矩阵分块成 It B BI 4 B B B st 其中 i941i2 ,A的列数分别等于B B 1j92 B 的行数那末 AB 其中C=∑ABb(=1,…,s;j=1,…,) k=1

8 (3)设A为ml矩阵,B为l n矩阵,分块成 , , 1 1 1 1 1 1 1 1           =           = t tr r s st t B B B B B A A A A A         的行数 那 末 其 中 的列数分别等于 , , , , , , , Ai1 Ai 2  Ai t B1 j B2 j  Bi j           = s sr r C C C C AB     1 11 1 ( 1, , ; 1, , ). 1 C A B i s j r k j t k i j =  i k =  =  = 其 中

Au mn…M (4)设A (5)设4为阶矩阵若A的分块矩阵只有在主对角线 上有非零子块,其余子块都为零矩阵,且非零子块都 是方阵即 A 1

9 ( ) 是方阵即 上有非零子块 其余子块都为零矩阵 且非零子块都 设 为 阶矩阵 若 的分块矩阵只有在主对角线 . , , 5 A n , A , 2 1               = As A A A  O O (4) , 1 1           = Asr A A     设 A1r As1 . 11           = T sr T T A A A     则 T As1 T A1r T As1 T A1r . 11           = T sr T T A A A     则

A 1 A2 其中A1(i=1,2,…s)都是方阵那末称A为分块 对角矩阵. 分块对角矩阵的行列式具有下述性质 A=4112…A

10 , 2 1               = As A A A  O O ( ) . 1,2, , 对角矩阵 其中 Ai i = s 都是方阵 那末称 A为分块 . A = A1 A2  As 分块对角矩阵的行列式具有下述性质: