《概率论与数理统计》课程教学资源（电子教案）第一章 随机事件与概率

第一章随机寡件与概率 【授课对象】理工类本科二年级 【授课时数】8学时 【授课方法】课堂讲授与提问相结合 【基本要求】1、理解随机事件和样本空间的概念,熟练掌握事件之间的关系与基本 运算 2、理解事件频率的概念,了解随机现象的统计规律性: 3、理解古典概率的定义,了解概率的统计定义、几何概率的定义,知 道概率的公理化定义; 4、掌握概率的基本性质,会应用这些性质进行概率计算; 5、理解条件概率的概念,掌握乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式, 并会应用这些公式进行概率计算 理解事件独立性的概念,会应用事件的独立性进行概率计算 本章重点】理解概率的定义、性质;掌握概率的计算及事件的独立性 【本章难点】判别事件概率的类型;注意‘有放回抽样’与‘无放回抽样’的区别 条件概率、全概率公式及贝叶斯公式的应用 【授课内容及学时分配】 §1.1隨机事件及其坛算 引言 1.确定性现象与不确定性现象(随机现象): 在自然界与人类社会生活中,存在着两类截然不同的现象:一类是确定性现象。 例如:早晨太阳必然从东方升起;在标准大气压下,纯水加热到100摄氏度必然沸腾 边长为a,b的矩形,其面积必为ab等。对于这类现象,其特点是:在试验之前就能 断定它有一个确定的结果,即在一定条件下,重复进行试验,其结果必然出现且唯一 另一类是随机现象。例如:某地区的年降雨量;打靶射击时,弹着点离靶心的距离; 投掷一枚均匀的硬币,可能出现“正面”,也可能出现“反面”,事先不能作出确定的 判断。因此,对于这类现象,其特点是可能的结果不止一个,即在相同条件下进行重 概率论与数理统计教案 第一章随机事件与概率1

概率论与数理统计教案 第一章 随机事件与概率 1 第一章 随机事件与概率 【授课对象】理工类本科二年级 【授课时数】8 学时 【授课方法】课堂讲授与提问相结合 【基本要求】1、理解随机事件和样本空间的概念，熟练掌握事件之间的关系与基本 运算； 2、理解事件频率的概念，了解随机现象的统计规律性； 3、理解古典概率的定义，了解概率的统计定义、几何概率的定义，知 道概率的公理化定义； 4、掌握概率的基本性质，会应用这些性质进行概率计算； 5、理解条件概率的概念，掌握乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式， 并会应用这些公式进行概率计算； 6、理解事件独立性的概念，会应用事件的独立性进行概率计算。 【本章重点】理解概率的定义、性质；掌握概率的计算及事件的独立性 【本章难点】判别事件概率的类型；注意‘有放回抽样’与‘无放回抽样’的区别； 条件概率、全概率公式及贝叶斯公式的应用 【授课内容及学时分配】 §1.1 随机事件及其运算 一、引言 1.确定性现象与不确定性现象（随机现象）： 在自然界与人类社会生活中，存在着两类截然不同的现象：一类是确定性现象。 例如：早晨太阳必然从东方升起；在标准大气压下，纯水加热到 100 摄氏度必然沸腾； 边长为 a，b 的矩形，其面积必为 ab 等。对于这类现象，其特点是：在试验之前就能 断定它有一个确定的结果，即在一定条件下，重复进行试验，其结果必然出现且唯一。 另一类是随机现象。例如：某地区的年降雨量；打靶射击时，弹着点离靶心的距离； 投掷一枚均匀的硬币，可能出现“正面”，也可能出现“反面”，事先不能作出确定的 判断。因此，对于这类现象，其特点是可能的结果不止一个，即在相同条件下进行重

复试验,试验的结果事先不能唯一确定。就一次试验而言,时而出现这个结果,时而 出现那个结果,呈现出一种偶然性, 概率论就是研究随机现象的统计规律性的一门数学分支。 其研究对象为:随机现象 研究内容为:随机现象的统计规律性 2.随机现象的统计规律性 以前,由于随机现象事先无法判定将会出现那种结果,人们就以为随机现象是不 可捉摸的,但是后来人们通过大量的实践发现:在相同条件下,虽然个别试验结果在 某次试验或观察中可以出现也可以不出现,但在大量试验中却呈现出某种规律性,这 种规律性称为统计规律性。例如:在投掷一枚硬币时,既可能出现正面,也可能出现 反面,预先作出确定的判断是不可能的,但是假如硬币均匀,直观上出现正面与出现 反面的机会应该相等,即在大量的试验中出现正面的频率应接近50%,这正如恩格斯 所指出的:“在表面上是偶然性在起作用的地方,这种偶然性始终是受内部的隐藏着 的规律支配的,而问题只是在于发现这些规律。”因此,人们买彩票经常不能中奖, 总是抱怨运气不好,其最主要的原因就是没有进行大量的重复试验,从而也就不能发 现其内部隐藏着的规律 基本概念 本节需要掌握以下基本的概念 1.随机试验 个试验如果满足:①可以在相同的条件下重复进行;②其结果具有多种可能性 ③在每次试验前,不能预言将出现哪一个结果,但知道其所有可能出现的结果。则称 这样的试验为随机试验。简而言之,就是对随机现象的一次观察或试验。通常用大写 的字母‘E’表示 2.样本空间与样本点 由随机试验的一切可能结果组成的一个集合,称为样本空间,用‘g表示;其 每个元素称为样本点,用‘o’表示。 例如:E,:掷骰子一次,观察出现的点数,则91={O1,O2,…6 E2:投一枚均匀硬币两次,观察出现正反面情况,记Z为正面,F为反面 概率论与数理统计教案 第一章随机事件与概率

2 概率论与数理统计教案 第一章 随机事件与概率 复试验，试验的结果事先不能唯一确定。就一次试验而言，时而出现这个结果，时而 出现那个结果，呈现出一种偶然性。 概率论就是研究随机现象的统计规律性的一门数学分支。 其研究对象为：随机现象 研究内容为：随机现象的统计规律性。 2.随机现象的统计规律性： 以前，由于随机现象事先无法判定将会出现那种结果，人们就以为随机现象是不 可捉摸的，但是后来人们通过大量的实践发现：在相同条件下，虽然个别试验结果在 某次试验或观察中可以出现也可以不出现，但在大量试验中却呈现出某种规律性，这 种规律性称为统计规律性。例如：在投掷一枚硬币时，既可能出现正面，也可能出现 反面，预先作出确定的判断是不可能的，但是假如硬币均匀，直观上出现正面与出现 反面的机会应该相等，即在大量的试验中出现正面的频率应接近 50%，这正如恩格斯 所指出的：“在表面上是偶然性在起作用的地方，这种偶然性始终是受内部的隐藏着 的规律支配的，而问题只是在于发现这些规律。”因此，人们买彩票经常不能中奖， 总是抱怨运气不好，其最主要的原因就是没有进行大量的重复试验，从而也就不能发 现其内部隐藏着的规律。 二、基本概念 本节需要掌握以下基本的概念： 1.随机试验： 一个试验如果满足：①可以在相同的条件下重复进行；②其结果具有多种可能性； ③在每次试验前，不能预言将出现哪一个结果，但知道其所有可能出现的结果。则称 这样的试验为随机试验。简而言之，就是对随机现象的一次观察或试验。通常用大写 的字母‘E’表示。 2.样本空间与样本点： 由随机试验的一切可能结果组成的一个集合．．，称为样本空间，用‘  ’表示；其 每个元素称为样本点，用‘  ’表示。 例如：E 1 ：掷骰子一次，观察出现的点数，则Ω 1 ＝｛ 1 ，2 ，…6 ｝； E 2 ：投一枚均匀硬币两次，观察出现正反面情况，记 Z 为正面，F 为反面

则Ω2={(Z,Z,(Z,F,(F,F,(F,Z) E3:电话总机在单位时间内接到的呼唤次数,则Ω3={0,1,2,…}; E4:任取一人量其身高,则24={h:3>h>0 E3:任取一人,以身高决定他买票的类型,则该试验的样本空间应以票的 类型来刻画,而不是以身高来刻画的,所以5={免,半,全}。 注:①样本空间是一个集合,它是由样本点构成。其表示方法,可以用列举法,也 可以用描述法。 ②在样本空间中,样本点可以是一维的,也可以是多维的;可以是有限个,也 可以是无限个。 ③对于一个随机试验而言,样本空间并不唯一。在同一试验中,当试验的目的 不同时,样本空间往往是不同的,但通常只有一个会提供最多的信息。例如 在运动员投篮的试验中,若试验的目的是考察命中率,则样本空间为 g1={中,不中;若试验的目的是考察得分情况,则样本空间为 g21={0分,分,2分,3分}。 3.随机事件: 样本空间Ω的某个子集称为随机事件,简称事件。用字母A,B,C等表示。显然 它是由部分样本点构成的。 随机事件包括基本事件和复合事件。由一个样本点构成的集合称为基本事件;由 多个样本点构成的集合称为复合事件 例如,在投骰子的试验中,事件A:‘掷出偶数点’,用o)2表示“出现i点”,则A 包含a2、4、O6这三个样本点,所以它是复合事件。 4随机事件的发生: 某个事件A发生当且仅当A所包含的一个样本点O出现,记为∈A。 例如:在投骰子的试验中,设A‘出现偶数点’,则‘出现2点’就意味着A发 生,并不要求A的每一个样本点都出现,当然,这也是不可能的 概率论与数理统计教案 第一章随机事件与概率3

概率论与数理统计教案 第一章 随机事件与概率 3 则 2 ＝｛（Z，Z），（Z，F），（F，F），（F，Z）｝； E 3：电话总机在单位时间内接到的呼唤次数，则 3 ＝｛0，1，2，…｝； E 4 ：任取－人量其身高，则 4 ＝｛ h : 3  h  0 ｝； E 5 ：任取一人，以身高决定他买票的类型，则该试验的样本空间应以票的 类型来刻画，而不是以身高来刻画的，所以 5 ={免，半，全}。 注：①样本空间是一个集合，它是由样本点构成。其表示方法，可以用列举法，也 可以用描述法。 ②在样本空间中，样本点可以是一维的，也可以是多维的；可以是有限个，也 可以是无限个。 ③对于一个随机试验而言，样本空间并不唯一。在同一试验中，当试验的目的 不同时，样本空间往往是不同的，但通常只有一个会提供最多的信息。例如 在运动员投篮的试验中，若试验的目的是考察命中率，则样本空间为 { } 1 = 中，不中 ； 若 试 验 的 目 的 是 考 察 得 分 情 况 ， 则 样 本 空 间 为 {0 1 2 3 } 1 = 分，分，分，分 。 3.随机事件： 样本空间Ω的某个子集称为随机事件，简称事件。用字母 A，B，C 等表示。显然 它是由部分样本点构成的。 随机事件包括基本事件和复合事件。由一个样本点构成的集合称为基本事件；由 多个样本点构成的集合称为复合事件。 例如，在投骰子的试验中，事件 A：‘掷出偶数点’，用 i 表示“出现 i 点”，则 A 包含 2、4、6 这三个样本点，所以它是复合事件。 4.随机事件的发生： 某个事件 A 发生当且仅当 A 所包含的一个样本点  出现，记为   A。 例如：在投骰子的试验中，设 A‘出现偶数点’，则‘出现 2 点’就意味着 A 发 生，并不要求 A 的每一个样本点都出现，当然，这也是不可能的

5.必然事件与不可能事件: 必然事件:在随机试验中,每次试验都必然发生的事件。用Ω表示 不可能事件:在随机试验中,每次试验都必然不会发生的事件。用Φ表示 例如,在上述掷骰子的试验中,“点数小于7”是必然事件,“点数大于6”是不 可能事件 注:严格来讲,必然事件与不可能事件反映了确定性现象,可以说它们并不是随机事 件,但为了研究问题的方便,我们把它们作为特殊的随机事件 有了上述讨论,可见事件与集合之间建立了一定的对应关系,从而可用集合的一些术 语、符号去描述事件之间的关系与运算 三、事件间的关系 1.事件的包含 当事件A发生时必然导致事件B发生,则称A包含于B或B包含A 记为AcB或B2A。 即AcB台{若O∈A则O∈B},用文(ven)图表示为: 反之,BA分若B不发生,则必然A也不会发生 显然,对任意事件A有:(1)AcA;(2)ΦcAcΩ;(3)若AcB,BcC,则AcC。 2.事件的相等: 若事件A的发生能导致B的发生,且B的发生也能导致A的发生,则称A与B 相等。记为A=B, 即A与B有相同的样本点。 显然有A=B分AcB且BcA 3.事件的互斥(互不相容):若事件A与B不能同时发生,则称A与B互斥 记为AB=Φ 显然有:(1)基本事件是互斥的;(2)Φ与任意事件互斥。 四、事件的运算(和、差、积、逆运算) 1.事件的和(并): 两个事件A、B中至少有一个发生的事件,称为事件A与 事件B的并(或和),记为A∪B(或A+B)。 概率论与数理统计教案 第一章随机事件与概率

4 概率论与数理统计教案 第一章 随机事件与概率 5.必然事件与不可能事件： 必然事件：在随机试验中，每次试验都必然发生的事件。用  表示； 不可能事件：在随机试验中，每次试验都必然不会发生的事件。用  表示。 例如，在上述掷骰子的试验中，“点数小于 7”是必然事件，“点数大于 6”是不 可能事件。 注：严格来讲，必然事件与不可能事件反映了确定性现象，可以说它们并不是随机事 件，但为了研究问题的方便，我们把它们作为特殊的随机事件。 有了上述讨论，可见事件与集合之间建立了一定的对应关系，从而可用集合的一些术 语、符号去描述事件之间的关系与运算。 三、事件间的关系 1.事件的包含： 当事件 A 发生时必然导致事件 B 发生，则称 A 包含于 B 或 B 包含 A， 记为 A  B 或 B  A。 即 A  B {若 A,则B}，用文（Venn）图表示为： 反之，B  A  若 B 不发生，则必然 A 也不会发生。 显然，对任意事件 A 有：⑴A  A ；⑵   A   ；⑶若 A  B，B  C ，则 A  C 。 2.事件的相等： 若事件 A 的发生能导致 B 的发生，且 B 的发生也能导致 A 的发生，则称 A 与 B 相等。记为 A＝B， 即 A 与 B 有相同的样本点。 显然有 A＝B  A  B 且 B  A 3.事件的互斥（互不相容）：若事件 A 与 B 不能同时发生，则称 A 与 B 互斥， 记为 AB＝。 显然有：⑴基本事件是互斥的；⑵  与任意事件互斥。 四、事件的运算（和、差、积、逆运算） 1.事件的和（并）： 两个事件 A、B 中至少有一个发生的事件，称为事件 A 与 事件 B 的并（或和），记为 A  B （或 A＋B）

即A∪B={o/o∈A或∈B} 显然有:(1)A∪A=A;(2)AcA∪B,BcA∪B; (3)若AcB,则A∪B=B。特别地,A∪Ω=g,A∪d=A 2.事件的积(交): 两个事件A与B同时发生的事件,称为事件A与事件B的积(或交) 记为A∩B(或AB) 即A⌒B={/o∈A且o∈B} 显然有:(1)A⌒BcA,ABcB (2)若AcB,则A∩B=A,特别地Ag=A; (3)若A与B互斥,则AB=Φ,特别地ΦA=Φ。 注:事件之间的和、积运算可以推广到有限个和可列无穷多个事件的情形 UA, A={o/o∈A1或o∈A2或…或o∈A} UA1=A∪A2U…A∪…={o/o∈A1或o∈A2或…或∈A} ∩A4=AnA2∩…∩A=@o/o∈A且o∈A2且.且o∈An} ∩4=A∩A1⌒…∩An…=o/o∈A且o∈A2且…且o∈A 3.事件的差 事件A发生而事件B不发生的事件,称为事件A与事件B的差,记为A-B 即A-B{∈A而ogB}。 显然有:(1)不要求A=B,才有A-B,若AcB,则A-B=Φ; (2)若A与B互斥,则A-B=A,B-A=B 3)A-B=A_AB(证明:利用A-BcA-AB且A一ABcA-B) (4)A-(B-C)≠A-B+C(左边为A的子事件,而右边不是)。 4.事件的逆(对立事件) 若事件A与事件B满足A∪B=且AB=Φ,则称B为A的逆,记为B=A。 概率论与数理统计教案 第一章随机事件与概率

概率论与数理统计教案 第一章 随机事件与概率 5 即 A  B ＝｛ω/ω  A 或ω  B ｝ 显然有：⑴ A A = A ；⑵ A  A  B， B  A  B ； ⑶若 A  B ，则 A B = B 。特别地， A  = , A  = A。 2.事件的积（交）： 两个事件 A 与 B 同时发生的事件，称为事件 A 与事件 B 的积（或交）。 记为 A  B （或 AB ） 即 AB =  /  A且 B 。 显然有：⑴ A  B  A ，A  B  B ； ⑵若 A  B，则A  B＝A ，特别地 A＝A ； ⑶若 A与B互斥，则AB＝，特别地A＝ 。 注：事件之间的和、积运算可以推广到有限个和可列无穷多个事件的情形。  / A A } 1 2 1 2 1 n n n k Ak = A  A   A =   A   =   或 或或   n    n k Ak A1 A2 A / A1 A2 A 1 =     =      = 或 或 或  / A ... A } 1 2 1 2 1 n n n k Ak = A  A   A =   A   =   且 且 且   n    n k Ak A1 A2 A / A1 A2 A 1 =     =      = 且 且 且 3.事件的差： 事件 A 发生而事件 B 不发生的事件，称为事件 A 与事件 B 的差，记为 A-B。 即 A− B {  A而 B}。 显然有：⑴不要求 A  B ，才有 A − B ，若 A  B，则A - B =  ； ⑵若 A与B互斥，则A－B＝A，B－A＝B ； ⑶ A－B＝A－AB（证明：利用A－B  A－AB且A－AB  A－B） ； ⑷ A − (B − C)  A − B + C （左边为 A 的子事件，而右边不是）。 4.事件的逆（对立事件）： 若事件 A 与事件 B 满足 A B＝且AB＝，则称B为A的逆，记为B＝A

即A={o/(gA,O∈!Q 显然有:()A∪A=g,AAA=④ (2)A-B=AB(证明:A_B=A-AB=A(g-B)=AB) 注:互逆事件与互斥事件的区别:互逆必定互斥,互斥不一定互逆;互逆只在样本空 间只有两个事件时存在,互斥还可在样本空间有多个事件时存在。 例如,在抛硬币的试验中,设A={出现正面},B={出现反面},则A与B互斥且A与B 互为对立事件;而在掷骰子的试验中,设A={出现1点},B={出现2点},则A与B 互斥,但A与B不是对立事件。 五、事件的运算性质(规律) 由前面可知,事件之间的关系与集合之间的关系建立了一定的对应法则,因而事 件之间的运算法则与布尔代数中集合的运算法则相同 1.交换律:A∪B=B∪A,AB=BA 2.结合律:A∪(B∪C)=(∪B)∪C,A(BC)=(AB)C 3.分配律:A∩(B∪C)=(AB)∪(AC),A∪BC)=(A∪B)(A∪C) 4德莫根(对偶)定律:①UA=∩A(和的逆=逆的积) ②∩4=UA(积的逆=逆的和) 六、举例 例1:设A、B、C为任意三个事件,试用A、B、C的运算关系表示下列各事件: ①三个事件中至少一个发生 A∪BuC ②没有一个事件发生 ABC=A∪B∪C(由对偶律) ③恰有一个事件发生 ABC∪ ABCU ABO ④至多有两个事件发生(考虑其对立事件) (ABC∪ABC∪ABC)∪(ABC∪ABC∪ABC)∪(ABC)=ABC=A∪B∪C ⑤至少有两个事件发生 ABC∪ABC∪ABC∪ABC=AB∪BC∪CA 概率论与数理统计教案 第一章随机事件与概率

6 概率论与数理统计教案 第一章 随机事件与概率 即 A = / A，} 显然有：⑴ AA＝，AA＝ ⑵ A－B＝AB （证明： A－B＝A－AB＝A（－B）＝AB ） 注：互逆事件与互斥事件的区别：互逆必定互斥，互斥不一定互逆；互逆只在样本空 间只有两个事件时存在，互斥还可在样本空间有多个事件时存在。 例如，在抛硬币的试验中，设 A={出现正面}，B={出现反面}，则 A 与 B 互斥且 A 与 B 互为对立事件；而在掷骰子的试验中，设 A={出现 1 点}，B={出现 2 点}，则 A 与 B 互斥，但 A 与 B 不是对立事件。 五、事件的运算性质（规律） 由前面可知，事件之间的关系与集合之间的关系建立了一定的对应法则，因而事 件之间的运算法则与布尔代数中集合的运算法则相同。 1.交换律： A B = B  A，AB＝BA 2.结合律： A (B C) = (A B) C, A(BC) = (AB)C 3.分配律： A (B C) = (AB)  (AC), A BC) = (A B)(AC) 4.德莫根（对偶）定律：①   n i i n i Ai A =1 =1 = （和的逆＝逆的积） ②   n i i n i Ai A =1 =1 = （积的逆＝逆的和） 六、举例 例 1：设 A、B、C 为任意三个事件，试用 A、B、C 的运算关系表示下列各事件： ①三个事件中至少一个发生 ABC ②没有一个事件发生 ABC = A BC （由对偶律） ③恰有一个事件发生 ABC  ABC  ABC ④至多有两个事件发生（考虑其对立事件） ( ) ( ) ( ) ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC A B C       = =   ⑤至少有两个事件发生 ABC ABC ABC ABC AB BC CA    =  

课后作业:1、仔细阅读P1-7 2、作业:P251,2,3; 3、预习P7-15 概率论与数理统计教案 第一章随机事件与概率7

概率论与数理统计教案 第一章 随机事件与概率 7 课后作业：1、仔细阅读 P1-7； 2、作业：P25 1, 2, 3； 3、预习 P7-15

§1.2随机事件的概率 0、引言 随机事件在一次试验中,可能发生也可能不发生,具有偶然性。但是,人们从实 践中认识到,在相同的条件下,进行大量的重复试验中,试验的结果具有某中内在的 规律性,即随机事件发生的可能性大小是可以比较的,是可以用一个数字进行度量的。 例如,在投掷一枚均匀的骰子试验中,事件A‘掷出偶数点’,B‘掷出2点’,显然 事件A比事件B发生可能性要大。 对于一个随机试验,我们不仅要知道它可能出现哪些结果,更重要的是研究各种 结果发生的可能性的大小,从而揭示其内在的规律性 概率就是随机事件发生的可能性大小的数量表征。对于事件A,通常用P(A)来 表示事件A发生的可能性大小,即A发生的概率 但是,事件的概率如何进行定义呢?在概率论发展的历史上,人们针对不同情况, 从不同的角度对事件的概率作了规定,给出了四种定义。 概率的统计定义 1.频率及频率的性质: (1)定义:在相同的条件下,重复进行了N次试验,若事件A发生了次,则称比 值4为事件A在N次试验中出现的频率,记为F(A)=共。 (2)频率的性质: (1)非负性:对任意A,有F(A)≥0 (2)规范性:F(92)=1 (3)可加性:若A、B互斥,则F(A∪B)=F(A)+F(B) (3)频率的稳定性: 在大量的重复试验中,频率常常稳定于某个常数,称为频率的稳定性。 通过大量的实践,我们还容易看到,若随机事件A出现的可能性越大,一般来 讲,其频率F(A)也越大。由于事件A发生的可能性大小与其频率大小有如此密切 概率论与数理统计教案 第一章随机事件与概率

8 概率论与数理统计教案 第一章 随机事件与概率 §1.2 随机事件的概率 0、引言 随机事件在一次试验中，可能发生也可能不发生，具有偶然性。但是，人们从实 践中认识到，在相同的条件下，进行大量的重复试验中，试验的结果具有某中内在的 规律性，即随机事件发生的可能性大小是可以比较的，是可以用一个数字进行度量的。 例如，在投掷一枚均匀的骰子试验中，事件 A‘掷出偶数点’，B‘掷出 2 点’，显然 事件 A 比事件 B 发生可能性要大。 对于一个随机试验，我们不仅要知道它可能出现哪些结果，更重要的是研究各种 结果发生的可能性的大小，从而揭示其内在的规律性。 概率就是随机事件发生的可能性大小的数量表征。对于事件 A ，通常用 P(A) 来 表示事件 A 发生的可能性大小，即 A 发生的概率。 但是，事件的概率如何进行定义呢？在概率论发展的历史上，人们针对不同情况， 从不同的角度对事件的概率作了规定，给出了四种定义。 一、概率的统计定义 1.频率及频率的性质： (1)定义：在相同的条件下，重复进行了 N 次试验，若事件 A 发生了  次，则称比 值 N  为事件 A 在 N 次试验中出现的频率，记为 N FN A  ( ) = 。 (2)频率的性质： ⑴非负性：对任意 A，有 FN (A)  0 ⑵规范性： FN () = 1 ⑶可加性：若 A、B 互斥，则 F (A B) F (A) F (B) N  = N + N (3)频率的稳定性： 在大量的重复试验中，频率常常稳定于某个常数，称为频率的稳定性。 通过大量的实践，我们还容易看到，若随机事件 A 出现的可能性越大，一般来 讲，其频率 F (A) N 也越大。由于事件 A 发生的可能性大小与其频率大小有如此密切

的关系,加之频率又有稳定性,故而可通过频率来定义概率。这就是 2概率的统计定义 定义1:在相同的条件下,独立重复的作N次试验,当试验次数N很大时,如果某 事件A发生的频率F(A)稳定地在[0,1上的某一数值p附近摆动,而且一般来说随 着试验次数的增多,这种摆动的幅度会越来越小,则称数值p为事件A发生的概率 记为P(A)=p。 概率的统计定义一方面肯定了任一事件的概率是存在的;另一方面又给出了一个 近似计算概率的方法,但其不足之处是要进行大量的重复试验。 【注】:lmF(4)≠p 古典概率(其产生的源泉是古典型随机试验 1.古典型随机试验:一个随机试验若满足: ①样本空间中只有有限个样本点(有限性) ②样本点的发生是等可能的(等可能性) 则称该随机试验为古典型随机试验 2.古典概率的定义: 定义2:设古典型随机试验的样本空间Ω={o,O2,On},若事件A中含有 k(k≤n)个样本点,则称一为A发生的概率,记为 P1=k。4中含有的样本点数 总样本点数 3古典概率的性质 (1)非负性:对任意A,P(A)≥0 (2)规范性:P(2)=1 (3)可加性:若A和B互斥,则P(A∪B)=P(A)+P(B )P()=0 (5)P(A)=1-P(A) 概率论与数理统计教案 第一章随机事件与概率9

概率论与数理统计教案 第一章 随机事件与概率 9 的关系，加之频率又有稳定性，故而可通过频率来定义概率。这就是： 2.概率的统计定义 定义 1：在相同的条件下，独立重复的作 N 次试验，当试验次数 N 很大时，如果某 事件 A 发生的频率 F (A) N 稳定地在[0，1]上的某一数值 p 附近摆动，而且一般来说随 着试验次数的增多，这种摆动的幅度会越来越小，则称数值 p 为事件 A 发生的概率， 记为 P(A) = p 。 概率的统计定义一方面肯定了任一事件的概率是存在的；另一方面又给出了一个 近似计算概率的方法，但其不足之处是要进行大量的重复试验。 【注】： FN A p N  → lim ( ) 二、古典概率(其产生的源泉是古典型随机试验) 1.古典型随机试验：一个随机试验若满足： ①样本空间中只有有限个样本点（有限性） ②样本点的发生是等可能的（等可能性） 则称该随机试验为古典型随机试验。 2.古典概率的定义： 定义 2：设古典型随机试验的样本空间 { ,..., }  = 1, 2 n ，若事件 A 中含有 k ( k  n) 个样本点，则称 n k 为 A 发生的概率，记为 总样本点数 A中含有的样本点数 n k P(A) = = 。 3.古典概率的性质： ⑴非负性：对任意 A， P(A)  0 ⑵规范性： P() = 1 ⑶可加性：若 A 和 B 互斥，则 P(A  B) = P(A ）＋ P(B) ⑷ P() = 0 ⑸ P(A) = 1− P(A)

例1:从标号为1,2,…,10的10个同样大小的球中任取一个,求下列事件的 概率:A:‘抽中2号’,B:‘抽中奇数号’,C:‘抽中的号数不小于7’。 解:令i表示“抽中i号”,i=1,2,…10,则g={12,3,10},所以 P(A)=,,P(B)=,P(C) 10 例2:从6双不同的鞋子中任取4只,求:(1)其中恰有一双配对的概率;(2)至少 有两只鞋子配成一双的概率。 解:(1)分析:先从6双中取出一双,两只全取;再从剩下的5双中任取两双,每 双中取到一只,则(1)中所含样本点数为CC2CC2C2 所以所求概率P= clCaC2CIC/ct=16 (2)设B表示“至少有两只鞋子配成一双,则: P(B)=1-P(B=1-Ccccc/C=7, aX=ICICiC)C) +C21/C1=17 【注】:不能把有利事件数取为CC2C0,从而出现重复事件。这是因为,若鞋子标 有号码1,2,…,6时,C可能取中第i号鞋,此时C1可能取中j号一双,此 时成为两双的配对为(,j);但也存在配对(j,i),(,j)与(j,1)是一种,出现了重 复事件,即多出了C2个事件 在古典型试验中利用等可能性的概念成功的解决了某一类问题的概率,不过古典 型要求可能场合的总数即样本点个数必须有限,因此,对于无限结果而又有某种等可 能性的场合一般可以通过几何方法来解决 三、几何概率(其产生的源泉是几何型随机试验) 先从一个简单的例子开始: 引例如果在一个5万平方公里的海域里有表面积达40平方公里的大陆架贮藏 着石油,假如在海域里随意选取一点钻探,问钻到石油的概率是多少 解:在该题中由于选点的随机性,可以认为该海域中各点被选中的可能性是一样 的,因而所求概率自然认为贮油海域的面积与整个海域面积之比,即p= 50000 10概率论与数理统计教案 第一章随机事件与概率

10 概率论与数理统计教案 第一章 随机事件与概率 例 1：从标号为 1，2，…,10 的 10 个同样大小的球中任取一个，求下列事件的 概率：A:‘抽中 2 号’， B:‘抽中奇数号’， C:‘抽中的号数不小于 7’。 解：令 i 表示“抽中 i 号”， i = 1,2, 10 ，则  = {1,2,3,...10} ，所以 10 4 , ( ) 10 5 , ( ) 10 1 P(A) = P B = P C = 例 2：从 6 双不同的鞋子中任取 4 只，求：⑴其中恰有一双配对的概率；⑵至少 有两只鞋子配成一双的概率。 解：⑴分析：先从 6 双中取出一双，两只全取；再从剩下的 5 双中任取两双，每 双中取到一只，则⑴中所含样本点数为 1 2 1 2 2 5 2 2 1 C6C C C C 所以所求概率 P＝ 1 2 1 2 2 5 2 2 1 C6C C C C /C 4 12＝ 33 16 ⑵设 B 表示‘至少有两只鞋子配成一双’，则： P(B) = 1− P(B) = 1－ 1 2 1 2 1 2 .1 2 4. C6 C C C C /C 4 12＝ 33 17 ，或＝[ ]/ 2 6 1 2 1 2 2 5 1 C6C C C + C C 4 12＝ 33 17 【注】：不能把有利事件数取为 2 10 2 2 1 C6C C ，从而出现重复事件。这是因为，若鞋子标 有号码 1，2，…，6 时， 1 C6 可能取中第 i 号鞋，此时 2 C10 可能取中 j 号一双，此 时成为两双的配对为 (i, j) ；但也存在配对 ( j,i) ，(i, j) 与 ( j,i) 是一种，出现了重 复事件，即多出了 2 C6 个事件。 在古典型试验中利用等可能性的概念成功的解决了某一类问题的概率，不过古典 型要求可能场合的总数即样本点个数必须有限，因此，对于无限结果而又有某种等可 能性的场合一般可以通过几何方法来解决。 三、几何概率(其产生的源泉是几何型随机试验) 先从一个简单的例子开始： 引例：如果在一个 5 万平方公里的海域里有表面积达 40 平方公里的大陆架贮藏 着石油，假如在海域里随意选取一点钻探，问钻到石油的概率是多少？ 解：在该题中由于选点的随机性，可以认为该海域中各点被选中的可能性是一样 的，因而所求概率自然认为贮油海域的面积与整个海域面积之比，即 50000 40 p =