《线性代数》第五章 矩阵的对角化问题（5.1）方阵的特征值与特征向量

第五章矩阵的对角化问题 方阵的特征值与特征向量 相似矩阵及其性质 矩阵可对角化的条件 四.实对称矩阵的对角化

1 第五章 矩阵的对角化问题 一. 方阵的特征值与特征向量 二. 相似矩阵及其性质 三. 矩阵可对角化的条件 四. 实对称矩阵的对角化

方阵的特征值与特征向量 1定义 2求法 3性质 1.特征值与特征向量的定义 定义1:设A是n阶方阵, 若数和n维非零列向量x,使得 Ax=x成立,则称 九是方阵A的一个特征值 x为方阵A的对应于特征值的一个特征向量。 注:(1)A是方阵 (2)特征向量x是非零列向量 (3)方阵A的与特征值气对应的特征向量不唯一 (4)一个特征向量只能属于一个特征值 2

2 一. 方阵的特征值与特征向量 1. 特征值与特征向量的定义 定义1: 注： 设 A 是 n 阶方阵， 若数  和 n 维非零列向量 x ，使得 Ax x =  成立，则称  是方阵 A 的一个特征值， x 为方阵 A 的对应于特征值  的一个特征向量。 (1) A 是方阵 1.定义 2.求法 3.性质 （2）特征向量 x 是非零列向量 （4）一个特征向量只能属于一个特征值 （3）方阵 A 的与特征值  对应的特征向量不唯一

2.特征值与特征向量的求法 Ax=nx →(A-E)x=0或(E-A)x=0 已知x≠0,所以齐次线性方程组有非零解 台→|A-AE|=0或E-A=0 定义2:A nXn ,数元 nXn 11 12 A-nE= 21 22 2n 是关于的一个多项式,称为矩阵A的特征多项式

3 2. 特征值与特征向量的求法 Ax x =   − = ( A E x  ) 0 或 (E A x − = ) 0 已知 x  0, 所以齐次线性方程组有非零解  − = A E 0 或 E A − = 0 11 12 1 21 22 2 1 2 n n n n nn a a a a a a A E a a a     − − − = − 定义2： ( ) , n n ij n n A a   = 数  是关于  的一个多项式，称为矩阵 A的特征多项式

n f()=1-2B=aya2-2 n n n2 称为矩阵A的特征方程。 求特征值、特征向量: (1)A-E|=0求出孔即为特征值; (2)Ax=x→(4-E)x=0 把得到的特征值元代入上式, 求齐次线性方程组(A-E)x=0的非零解x 即为所求特征向量

4 ( ) 11 12 1 21 22 2 1 2 0 n n n n nn a a a a a a f A E a a a      − − = − = = − 称为矩阵 A 的特征方程。 求特征值、特征向量： (1) 0 A E − =  求出  即为特征值; (2) Ax x =   − = ( A E x  ) 0 把得到的特征值  代入上 式， 求齐次线性方程组 ( A E x − =  ) 0 的非零解 x 即为所求特征向量

0 例1:求矩阵A=-430的特征值和全部特征向量 解:第一步:写出矩阵A的特征方程,求出特征值 1-元1 A-E=-43-元0|=0 02-4 2-4)(元 0 特征值为1=2,2=3=1 第二步:对每个特征值九代入齐次线性方程组 (4-E)x=0,求非零解

5 解： 第一步：写出矩阵A的特征方程，求出特征值. 例1： 求矩阵 的特征值和全部特征向量. 1 1 0 4 3 0 1 0 2 A   −   = −      A E − =  1 1 0 4 3 0 0 1 0 2    − − − − = − ( )( ) 2 2 1 0 − − =   特征值为 1 2 3    = = = 2, 1 第二步：对每个特征值  代入齐次线性方程组 ( A E x − =  ) 0, 求非零解

当41=2时,齐次线性方程组为(A-2E)x=0 系数矩阵 310 (4-2E)=-410→010 000 自由未知量: x1=x2=0令x=1得基础解系:P1=0 k1D1(k1≠0常数)是对应于x1=2的全部特征向量

6 当 1 = 2 时，齐次线性方程组为 ( A E x − = 2 0 ) 系数矩阵 ( ) 3 1 0 2 4 1 0 1 0 0 A E   −   − = −      1 0 0 0 1 0 000   →         自由未知量: 3 x 1 2 x x = = 0 令 得基础解系: 3 x = 1 1 0 0 1 p     =       1 1 1   k p k( 0 常数)是对应于 1  = 2 的全部特征向量

当2=3=1时,齐次线性方程组为(4-E)x=0 210 (4-E)=-420→012 10 000 得基础解系P2=-2 =-2 k2P2(k2≠0常数是对应于2=3=1的全部特征向量 书P130.例4.例5

7 当   2 3 = = 1 时，齐次线性方程组为 ( A E x − = ) 0 ( ) 2 1 0 4 2 0 1 0 1 A E   −   − = −      1 0 1 0 1 2 0 0 0   →         1 3 2 3 2 x x x x  = −  = −  得基础解系 2 1 2 1 p     = −      2 2 2   k p k( 0 常数)是对应于 2 3   = = 1 的全部特征向量。 书P130. 例4. 例5

3.特征值和特征向量的性质 性质1:若A的特征值是九,x是A的对应于λ的特征向量,则 (1)k4的特征值是kA.(k是任意常数) (2)A"的特征值是m,(m是正整数) (3)若A可逆,则A4的特征值是x1 A*的特征值是4 且x仍然是矩阵k4,Am,Ah,A 分别对应于k,m",L A|的特征向量 (4)∫(x)为x的多项式,则∫(x)的特征值为∫(4

8 3. 特征值和特征向量的性质 性质1：若 A 的特征值是  ， x 是 A 的对应于  的特征向量，则 (1) kA 的特征值是 k k . ( 是任意常数) (2) m A 的特征值是 . ( m  m 是正整数) (3) 若 A 可逆，则 A −1 的特征值是 1  . − A  的特征值是 1 A .  1 , , , m kA A A A 且 仍然是矩阵 −  x 分别对应于 1 的特征向量。 1 , , , A m k    − (4) ( ) f x 为x的多项式，则 f x( ) 的特征值为 f ( ). 

性质2:矩阵A和A的特征值相同。 定理2:设n阶方阵A=(q)的n个特征值为,… 则1)λ+a2+…十元n=a1+a2+…+anm ∑an=m(4) 称为矩阵A的迹。(主对角元素之和) ∏λ=λ12…=

9 性质2： 矩阵 和 的特征值相同。 T A A 定理2：设 n 阶方阵 A a = ( ij) 的 n 个特征值为 1 2 , , ,    n 则 1 2 n 11 22 1 1) ( ) n i nn i i a tr a a A    a = = = = + + +  ＋ ＋ ＋ 称为矩阵A的迹。（主对角元素之和） 1 1 2 n 2) n i i     A =  = ＝

例2:设为矩阵A的特征值,求A2+2A+E的特征值; 若A可逆,求A,E-A)的特征值。 11 例3:设A=2-22 求:(1)A的特征值和特征向量 (2)求可逆矩阵P,使得P1AP为对角阵。 1- 解:(1)|A-E|=2-2-22|=0 1-a

10 例2 ： 例3：设 解： （1） 设  为矩阵 A 的特征值，求 的特征值； 2 A A E + + 2 若 A 可逆，求 ( ) 的特征值。 * 1 A E A , − − 1 1 1 2 2 2 1 1 1 A   −   = −       − − 求： （1） A 的特征值和特征向量。 （2）求可逆矩阵 P ，使得 P AP −1 为对角阵。 1 1 1 2 2 2 0 1 1 1 A E     − − − = − − = − − −