《线性代数》第二章 矩阵（习题课）

第二章矩阵习题课 主要内容 二.典型例题 测验题

1 第二章 矩阵习题课 一. 主要内容 二. 典型例题 三. 测验题

主要内容 1.矩阵的定义 由mXn个数an(=1,2,…,m;=1,2,…,n) 排成的m行n列的数表, n 简称mn矩阵记作A= 简记为4=(an)或An(ana m2 实矩阵:元素是实数 复矩阵:元素是复数 2

2 一. 主要内容 1. 矩阵的定义               = m m mn n n a a a a a a a a a A      1 2 21 22 2 11 12 1 记作 简记为 ( )ij m n A a  = A mn 或 m n a (i 1,2, ,m; j 1,2, ,n) 由  个数 ij =  =  排成的m行n列的数表， 简称mn矩阵. 实矩阵: 元素是实数 复矩阵： 元素是复数

些特殊的矩阵:零矩阵、行矩阵、列矩阵、方阵、 对角阵、数量阵、单位阵 2.矩阵的基本运算 同型矩阵:两个矩阵的行数相等、列数也相等 矩阵相等:两个矩阵同型,且对应元素相等 矩阵加(减)法:两个同型矩阵,对应元素相加(减) 加法满足()交换律:A+B=B+A (2)结合律:(A+B)+C=A+(B+C) (3)A+0=A,其中A与O是同型矩阵 (4)A+(-A)=O

3 一些特殊的矩阵：零矩阵、行矩阵、列矩阵、方阵、 对角阵、数量阵、单位阵 2. 矩阵的基本运算 矩阵相等: 同型矩阵：两个矩阵的行数相等、列数也相等 两个矩阵同型，且对应元素相等 矩阵加（减）法：两个同型矩阵，对应元素相加（减） 加法满足 (1) 交换律：A + B = B + A. (2) 结合律： (A + B) + C = A + (B + C). (4) A + (− A) = O. (3) A + 0 = A,其中A与O是同型矩阵

数与矩阵相乘:数九与矩阵A的乘积记作九A或A,规定为 na=a=(a;) 数乘满足(4)A=元(H4); (九+)A=A+pl4; (4+B)=4+AB. 矩阵与矩阵相乘:设A=(a)mx,B=(b;),wn 规定AB=C=(c), 其中c=anb1+a2b2y+…+anb=∑ D际 k=1 i=1,2,…,m;=1,2,…n)

4 数乘满足 ()A = (A); ( + )A = A+ A; (A+ B) = A+ B. 数与矩阵相乘：数  与矩阵 A 的乘积记作  A 或 A ，规定为 ( )    A A a = = ij 矩阵与矩阵相乘： ( ) ( ) , , A B a b ij ij m s s n   设 = = 规定 ( ) , AB C ij m n c  = = 其中 1 1 2 2 1 ( 1,2, , ; 1,2, ) s ij i j i j is sj ik kj k c a b a b a b a b i m j n = = + + + = = = 

乘法满足(AB)C=A(BC); 孔(AB)=(4)B=A(AB),(其中4为数); A(B+C)=AB+AC, (B+C)A= BA+CA EnmA nxn nxn nxnn· 矩阵乘法不满足:交换律、消去律

5 乘法满足 (AB)C = A(BC); (AB) = (A)B = A(B), (其 中为 数); ( ) ; ( ) , B C A BA CA A B C AB AC + = + + = + E A A A E . m mn = mn = mn n 矩阵乘法不满足：交换律、消去律

方阵的幂:A是n阶方阵,4=AAA 并且 IA=Am+ *A (4m)=Am(mk为正整数 方阵的多项式: f(x)=a1x+a1x-1+…+a1x+a0 f(4)=a4A-+aA-14+…+a14+aE 方阵的行列式: 满足:()4=A;(2)4=4 (3)AB|=4B

6 A是n 阶方阵，   k个 k 方阵的幂： A = A A A 方阵的多项式： 1 0 1 1 f (x) a x a x a x a k k k = k + + + + − −  1 0 1 1 f (A) a A a A a A a k k k = k + + + + − −  E m k m k A A A + = ( ) k m mk A A = 并且 （m,k为正整数） 方阵的行列式： 满足: (1) A A; T = (2) A A; n  =  (3) AB = A B

一些特殊的矩阵: 转置矩阵:把矩阵A的行换成同序数的列得到的 新矩阵,叫做A的转置矩阵,记作AT 满足:(1)(4)=A (2)(A+B)=A+B; (3)(4)=a4; (4)(AB)=BA 对称矩阵和反对称矩阵: A是对称矩阵A=A A是反对称矩阵分A=-A 幂等矩阵:A为n阶方阵,且A2=A

7 转置矩阵: 一些特殊的矩阵: 把矩阵 的行换成同序数的列得到的 新矩阵，叫做 的转置矩阵，记作 .  A A A 满足： (1)(A ) A; T T = (2) ( ) ; T T T A+ B = A + B (3) ( ) ; T T A = A (4) ( ) . T T T AB = B A 对称矩阵和反对称矩阵： A A A A T T A A = − =   是反对称矩阵 是对称矩阵 幂等矩阵： A为n阶方阵，且 2 A A =

伴随矩阵:行列式A的各个元素的代数余子式A所 构成的如下矩阵 12 22 2 AnAn…An AA=AA=AE

8 伴随矩阵：行列式 的各个元素的代数余子式 所 构成的如下矩阵 A Aij               =  n n nn n n A A A A A A A A A A        1 2 12 22 2 11 21 1 AA = A A = AE.  

3.逆矩阵 定义:A为n阶方阵,若存在n阶方阵使得AB=BA=E 则称矩阵A是可逆的(非奇异的、非退化的、满秩的) 矩阵B称为矩阵A的逆矩阵。 唯一性:若A是可逆矩阵,则A的逆矩阵是唯一的 判定定理:n阶方阵A可逆兮4≠0且A1、、A 推论:设A、B为同阶方阵,若AB=E,,A 则A、B都可逆,且A1=B,B-1=

9 3. 逆矩阵 定义：A为n阶方阵，若存在n阶方阵,使得 AB BA E = = 则称矩阵A是可逆的（非奇异的、非退化的、满秩的） 矩阵B称为矩阵A的逆矩阵。 唯一性： 若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的. 判定定理: n阶方阵A可逆   A 0 1 1 A A A −  且 = 推论：设A、B为同阶方阵，若 AB E= , 则A、B都可逆，且 1 1 A B B A − − = =

满足规律:(A)=A,(4)=nA1(≠0) (A)=(4),Al|=4 逆矩阵求法:(1)待定系数法 (2)伴随矩阵法 (3)初等变换法 4.分块矩阵 分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则相类似

10 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) , ( 0) ( ) ( ) ( ) , T T A A A A A A A A    − − − − − − − − = =   = = 满足规律： 逆矩阵求法：（1）待定系数法 （2）伴随矩阵法 （3）初等变换法 分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则相类似． 4. 分块矩阵