湖南大学：《工程数学》课程教学资源（PPT课件讲稿）第四章 线性方程组

第四章 a1x+a12x2+.taun=bl a21x1+a2x2+…+ b 2rn02 amx,taxol. ta 6 mn m

第四章 a11x1+a12x2+…+a1nxn =b1 a21x1+a22x2+…+a2nxn =b2 …………… am1x1+am2x2+…+amnxn =bm

本章主要应用矩阵理论、向量电间理 论研究线性方程组,主要内容如下: 线性方程组的消元解法 、齐次线性方程组有非零解的条件及 解的结构 、非齐次线性方程组有解的条件及解 的结构 第四章

第四章 工 程 数 学 本章主要应用矩阵理论、向量空间理 论研究线性方程组，主要内容如下： 一、线性方程组的消元解法 二、齐次线性方程组有非零解的条件及 解的结构 三、非齐次线性方程组有解的条件及解 的结构

§1.线性方程组的消元解法 线性方程组的形式 设n个元m个方程的线性方程组为 a1x+a12x2+.tain=b1 21x1+a2x2+…+a2pxn=b a.,te m22 a b 注意:m可以大于n、小于n、等于n 第四章

第四章 工 程 数 学 §1. 线性方程组的消元解法 一、线性方程组的形式 设 n 个元 m 个方程的线性方程组为 a11x1+a12x2+…+a1nxn =b1 a21x1+a22x2+…+a2nxn =b2 …………… am1x1+am2x2+…+amnxn =bm (1) 注意： m 可以大于 n、小于 n、等于 n

2 记A= 21 22 a2n b2 b 则(1)式可写成如下矩阵形式: ax=6 (2) 称A为线性方程组的系数矩阵 第四章

第四章 工 程 数 学 记 , 1 2 21 22 2 11 12 1             = m m mn n n a a a a a a a a a A        , 2 1             = n x x x X  . 2 1             = b m b b b  则(1)式可写成如下矩阵形式： AX = b (2) 称 A 为线性方程组的系数矩阵

若将系数阵A按每个列为一子块进行分块,即 A=( AX=(a1,a2…,an) X x1C1+x2C2+…x,C 则方程组又可写成向量形式 x1x1+x2a2+….+xnCn=b (3) 第四章

第四章 工 程 数 学 (3) 若将系数阵 A 按每个列为一子块进行分块，即 A=(1 , 2 , …, n ) 则方程组又可写成向量形式: x11+ x22+ …+ xnn =b               = n n x x x AX   2 1 1 2 ( , , , ) n n = x1 1 + x2  2 +x 

12 ain 记A=[A,b]=12122 a2n 02 e1 am2 称A为线性方程组的增广矩阵 当方程组右边的常数项不全为0,即b≠0 时,称AX=b为非齐次线性方程组,而称 AX=0为齐次线性方程组 第四章

第四章 工 程 数 学 记 [ , ] , 1 2 21 22 2 2 11 12 1 1             = = m m mn m n n a a a b a a a b a a a b A A b         称 A 为线性方程组的增广矩阵. 当方程组右边的常数项不全为 0, 即 b0 时，称 AX=b 为非齐次线性方程组，而称 AX=0 为齐次线性方程组

二、线性方程组的消元解法 消元法的三种基本运算包括: 1.对换两个方程的位置; 2.用一个数去乘一个方程加到另一个方程上; 3.用一个非零数去乘一个方程. 这三种运算称为线性方程组的初等变换 第四章

第四章 工 程 数 学 二、线性方程组的消元解法 消元法的三种基本运算包括： 1. 对换两个方程的位置； 2. 用一个数去乘一个方程加到另一个方程上； 3. 用一个非零数去乘一个方程. 这三种运算称为线性方程组的初等变换

定理 设将方程AX=b的增广矩阵A=[A4,b 进行初等行变换所得到的矩阵为 D=D,d,则D所对应的方程DX=d与 原方程AX=b同解 aX =6 对应A=[A,b1 同解方程 初等行变换 对应 dX=d D=D, d 第四章

第四章 工 程 数 学 定理 AX = b A = [A, b] DX = d D = [D, d], 同解方程 初等行变换 一一对应 一一对应 设将方程 AX=b 的增广矩阵 A=[A, b] 进 行 初 等 行 变 换 所 得 到 的 矩 阵 为 D=[D, d], 则 D 所对应的方程 DX=d 与 原方程AX=b同解

例1:解线性方程组 x1+x2+x2=1 x1+2x2-5x3=2 2x1+3 第四章

第四章 工 程 数 学 例1：解线性方程组 x1+x2+x3=1 x1+2x2−5x3 = 2 2x1+3x2−4x3= 3

解:A 2-52→01-61 23-43 0 61 1071 01-6101-61 0000 0000 第四章

第四章 工 程 数 学 解：           − = − 2 3 4 3 1 2 5 2 1 1 1 1 A           − → − 0 1 6 1 0 1 6 1 1 1 1 1           → − 0 0 0 0 0 1 6 1 1 1 1 1           → − 0 0 0 0 0 1 6 1 1 0 7 1