本章进一步结果 、设A、B为任意两个n阶方阵,证明 1AB|=|A||B
一、设A、B为任意两个n 阶方阵，证明 | AB | = | A | | B | 本章进一步结果
工程|数|学 分两步证明 (1)先证明以下引理 个n阶方阵A总可以经过第三种行和 列的初等变换化为一个对角矩阵 并且||A=a1d2…dln 第二章
第二章 工 程 数 学 (1)先证明以下引理： 一个 n 阶方阵 A 总可以经过第三种行和 列的初等变换化为一个对角矩阵. , 2 1 = dn d d A 并且 A A d1 d2 dn | |=| |= 分两步证明
工程|数|学 证:如果A的第一行和第一列的元素不 全为零,则总可以通过第三种初等变换使左 上角的元素不为零,于是再通过适当的第三 种初等变换可以把A化为 0 第二章
第二章 工 程 数 学 证：如果 A 的第一行和第一列的元素不 全为零，则总可以通过第三种初等变换使左 上角的元素不为零，于是再通过适当的第三 种初等变换可以把 A 化为 0 0 0 0 1 1 A d (1)
工程|数|学 如果A的第一行和第一列的元素全为零,贝 A已经具有(1)的形式,对A1进行同样的考虑, 易知可用第三种初等变换逐步把A化为对角 矩阵,根据行列式的性质,有 A=A=did 第二章
第二章 工 程 数 学 如果 A 的第一行和第一列的元素全为零，则 A已经具有(1)的形式，对 A1 进行同样的考虑， 易知可用第三种初等变换逐步把 A 化为对角 矩阵，根据行列式的性质，有 A A d1 d2 dn | |=| |=
工程|数|学 (2)下面来证明|AB|=|AB 先看一下特殊情形,即A是一个对角矩阵 的情形,设 2 A 第二章
第二章 工 程 数 学 (2) 下面来证明 | AB | = | A | | B | 先看一下特殊情形，即 A 是一个对角矩阵 的情形，设 , 2 1 = dn d d A
工程|数|学 doll jbl jbl 令B=(b则AB=/b21a2b2 d2b 202n 2 nnn 因此由行列式的性质得 AB|=d1d2…dn|BA‖B 第二章
第二章 工 程 数 学 令 B=(bij), 则 = n n n n n nn n n d b d b d b d b d b d b d b d b d b AB 1 2 2 21 2 22 2 2 1 11 1 12 1 1 因此由行列式的性质得 | | | | | || | AB = d1 d2 dn B = A B
工程|数|学 现在看一般情形,由引理知,可以通过第 三种初等变换把A化为一个对角矩阵A,并且 有团=A,反过来,矩阵A也可以通过对A施 行第三种初等变换而得到,这就是说,存在着 系列的P(,(4)型矩阵P1P 2…1q 使 A=P1P2…4Ps+1…1Pq 故 AB=P1P2… Ps APs+-…PgB 第二章
第二章 工 程 数 学 A=P1P2…PsAPs+1…Pq 现在看一般情形，由引理知，可以通过第 三种初等变换把 A 化为一个对角矩阵 A，并且 有 |A| = |A|, 反过来，矩阵 A 也可以通过对 A 施 行第三种初等变换而得到，这就是说，存在着 一系列的 P(i, j()) 型矩阵 P1 , P2 , …, Pq , 使 故 AB=P1P2…Ps A Ps+1…PqB
工程|数|学 由于任意一个n阶矩阵的行列式不会因 对它施行第三种初等变换而改变,换一句话 说,用一些P(,j(4)型的初等矩阵乘以一个 n阶矩阵后不改变这个矩阵的行列式.因此, 注意到A是一个对角矩阵,我们有 第二章
第二章 工 程 数 学 由于任意一个 n 阶矩阵的行列式不会因 对它施行第三种初等 变换而改变，换一句话 说，用一些 P(i, j()) 型的初等矩阵乘以一个 n 阶矩阵后不改变这个矩阵的行列式. 因此， 注意到 A 是一个对角矩阵，我们有
工程|数|学 1AB|fP…B3APs+1…lB APs+1…B A‖13+1…PB =aB =aB 第二章
第二章 工 程 数 学 | | | | AB = P1 P2 Ps APs+1 Pq B | | = APs+1 Pq B | || | = A Ps+1 Pq B =| A || B | =| A || B |
工程|数|学 上述结论可推广到m个矩阵的情形 设A1A2,…,An为m个n阶方阵,则 A1A2…Aml=|A1|A21….|Am 第二章
第二章 工 程 数 学 上述结论可推广到 m 个矩阵的情形. 设A1 , A2 , …, Am为m个n阶方阵，则 |A1A2…A m |=|A1 ||A2 |…|A m |