第三章
第三章 z x y O
工程|数|学 本章主要讨论经下五个问题 1.向量的概念及其线性运算; 2.空间直角坐标系与向量的表示; 3.向量空间的概念; 4.向量的线性关系及向量组的秩与极大无关组; 5.向量空间的维数、基及向量的坐标。 第三章
第三章 工 程 数 学 本章主要讨论经下五个问题： 1. 向量的概念及其线性运算； 2. 空间直角坐标系与向量的表示； 3. 向量空间的概念； 4. 向量的线性关系及向量组的秩与极大无关组； 5. 向量空间的维数、基及向量的坐标
工程|数|学 §1.向量的概念及其线性运算 向量的概念 定义1)既有大小,又有方向的量称为向量 (又称矢量) 例如力,速度,加速度等均为向量. 向量可用空间的一个有向线段来表示,如 B A 第三章
第三章 工 程 数 学 §1. 向量的概念及其线性运算 向量可用空间的一个有向线段来表示，如 A B 一、向量的概念 例如力，速度，加速度等均为向量. 既有大小，又有方向的量称为向量 (又称矢量). 定义1
工程|数|学 其中有向线段的长度表示向量的大小,称为 向量的长度(模).有向线段的指向表示向量的 方向这样的向量我们均称为(几何)向量 如果A,B分别是向量的起点和终点,则 向量可用符号AB表示,也可用一希腊字母如 a,B,y,,等表示 第三章
第三章 工 程 数 学 其中有向线段的长度表示向量的大小，称为 向量的长度(模). 有向线段的指向表示向量的 方向. 这样的向量我们均称为(几何)向量. 如果A, B 分别是向量的起点和终点，则 向量可用符号 AB 表示，也可用一希腊字母如 , , , …等表示
工程|数|学 向量AB(或a)的模用符号‖AB‖(或‖a|) 来表示.模为1的向量称为单位向量;模为零的 向量称为零向量,记作0,零向量的方向不定. 方向相同且模相等的向量称为相等的向量, 也就是说,向量与它的起点无关,而只与它的 长度及方向有关这种向量称之为自由向量 在讨论多个向量时,为了便于研究,我们 常把它们平移到同一起点 第三章
第三章 工 程 数 学 方向相同且模相等的向量称为相等的向量， 也就是说，向量与它的起点无关，而只与它的 长度及方向有关,这种向量称之为自由向量. 向量 AB (或 )的模用符号 ||AB|| (或 || ||) 来表示. 模为1的向量称为单位向量; 模为零的 向量称为零向量，记作0，零向量的方向不定. 在讨论多个向量时，为了便于研究，我们 常把它们平移到同一起点
工程|数|学 与向量a的长度相等,方向相反的向量 称为a的负向量,记为-a, 显然AB=-BA 如果两个向量a,B平行于同一直线,则 称它们共线,记为aB.零向量与任何向量 共线 第三章
第三章 工 程 数 学 与向量 的长度相等，方向相反的向量 称为 的负向量，记为−， 如果两个向量, 平行于同一直线，则 称它们共线, 记为 //. 零向量与任何向量 共线. 显然 AB = − BA
工程|数|学 二、向量的线性运算 1.向量的加法 定义2)设aB为空间中两个向量,在空间 中任取一点O,作OA=a,AB=B,则向 量OB称为a与B的和,记为aB 子 B B B C 第三章
第三章 工 程 数 学 二、向量的线性运算 1. 向量的加法 + O A B 设 , 为空间中两个向量，在空间 中任取一点O, 作 OA=, AB=, 则向 量 OB 称为 与 的和，记为+. + O A B 定义2
工程|数|学 2.向量与数的乘法 定义3)设a为向量,为实数,定义花与a 的乘积λα是满足如下两条件的向量: )‖Aa|=x|‖all i)当A>0时,Aa的方向与a相同; 当A<0时,Aa的方向与a相反 第三章
第三章 工 程 数 学 2. 向量与数的乘法 设 为向量， 为实数，定义与 的乘积 是满足如下两条件的向量： i) || ||=| | || || ii) 当 >0 时， 的方向与 相同； 当 <0 时， 的方向与 相反. 定义3
工程|数|学 如 2a 2a 显然,当=0或a=0时,Aa=0 第三章
第三章 工 程 数 学 显然，当 =0 或 =0 时, =0 如： 2 −2 • •
工程|数|学 设a为一非零向量,a为与a同向的单 位向量,则由向量的数乘可知 a=l all ao 或 a 此时a0又称为a的单位化向量 第三章
第三章 工 程 数 学 设 为一非零向量， 0 为与 同向的单 位向量，则由向量的数乘可知 =|| || 0 或 α α α || || 0 1 = 此时 0 又称为 的单位化向量