●教学目标 1.了解参数方程的概念; 2.理解圆的参数方程中θ的意义,熟练掌握圆心在原点与不在原点的圆的参数方程; 3.会把圆的参数方程与普通方程进行互化 ●教学重点 圆的参数方程 ●教学难点 圆的参数方程的理解和应用 ●教学方法 启发式 ●教具准备 角板、圆规 ●教学过程 I.复习回顾 师:前两节,我们学习了圆的标准方程与一般方程及其应用,首先,我们进行简要的回顾 生:(回答略) 师:这一节,我们重点研究圆的参数方程 Ⅱ.讲授新课 1.参数方程与普通方程: 一般地,在取定的坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x、y都是某个变数t的函数,即 f(o g() 并且对于t的每一个允许值,由方程组所确定的点M(xy)都在这条曲线上,那么方程组就叫这条曲 线的参数方程其中t叫参变数,简称参数 相对于参数方程来说,前面学过的直接给出曲线上点的坐标关系的方程,叫曲线的普通方程 说明:参数方程中的参数可以有物理、几何意义,也可以没有明显意义 2.圆的参数方程: x=rcos e ①圆心在原点,半径为r的圆的参数方程: y=rsin 6 推导:设圆O的圆心在原点,半径是r,圆O与x轴的正半轴的交点是Po(图 7-36) 设点在圆O上从点Po开始按逆时针方向运动到达点P,∠P0OP=b,若点P 坐标为(xy),根据三角函数的定义,可得 x=r cos 6 ②圆心为(ab),半径为r的圆的参数方程 x=arcos e 0为参数) y=b+rsin 8
●教学目标 1．了解参数方程的概念； 2．理解圆的参数方程中θ的意义，熟练掌握圆心在原点与不在原点的圆的参数方程； 3．会把圆的参数方程与普通方程进行互化. ●教学重点 圆的参数方程 ●教学难点 圆的参数方程的理解和应用. ●教学方法 启发式 ●教具准备 三角板、圆规 ●教学过程 Ⅰ.复习回顾 师：前两节，我们学习了圆的标准方程与一般方程及其应用，首先，我们进行简要的回顾. 生：（回答略） 师：这一节，我们重点研究圆的参数方程. Ⅱ.讲授新课 1．参数方程与普通方程： 一般地，在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标 x、y 都是某个变数 t 的函数，即 = = ( ) ( ) y g t x f t . 并且对于 t 的每一个允许值，由方程组所确定的点 M（x,y）都在这条曲线上，那么方程组就叫这条曲 线的参数方程.其中 t 叫参变数，简称参数. 相对于参数方程来说，前面学过的直接给出曲线上点的坐标关系的方程，叫曲线的普通方程. 说明：参数方程中的参数可以有物理、几何意义，也可以没有明显意义. 2．圆的参数方程： ①圆心在原点，半径为 r 的圆的参数方程： = = sin cos y r x r 推导：设圆 O 的圆心在原点，半径是 r,圆 O 与 x 轴的正半轴的交点是 P0（图 7—36） 设点在圆 O 上从点 P0 开始按逆时针方向运动到达点 P，∠P0OP=θ，若点 P 坐标为（x,y）,根据三角函数的定义，可得 = = sin cos r y r x 即 = = sin cos y r x r ②圆心为(a,b)，半径为 r 的圆的参数方程： = + = + sin cos y b r x a r （θ为参数）
推导:圆心为O1(ab)、半径为r的圆可以看成由圆心为原点O、半径 Pfs, yi 为r的圆按向量v=(ab)平移得到 即对于圆O上任意一点P1(xy),在圆O1上必有一点P(xy),使 因为OP=OB+PP,即(xy)=x,y)+(a,b) 图7-37 x=x+a 所以 由于点P1(x1y)在以原点为圆心,r为半径的圆上,所以存在参数b,使 y=VI ∫x1= rose x=a+rose 所以 sin e b+rsm e 3.圆的参数方程化普通方程 x=a+rcos日 方程组 y=b+rsib② 由①得x-a=cosb 由②得y-b=sinO ③2+④2得:(x-a)2+(y-b)=2 即圆的普通方程 4.例题讲解 例6如图7-38,已知点P是圆x2+y2=16上的一个动点,点A是x轴上 的定点,坐标为(12,0)当点P在圆上运动时,线段PA的中点M的轨迹是 4cos日 解:设点M的坐标是(xy)因为圆x+y2=16的参数方程为 所以可设点P的坐标为(4cos,4sin0).由线段中点坐标公式得点M的轨迹的参数方程为 x=6+2 cos0 2sin e 所以,线段PA的中点M的轨迹是以点(6,0)为圆心,2为半径的圆 Ⅲ课堂练习 课本P8!练习1,2,3 ●课堂小结 师:通过本节学习,要求大家了解曲线的参数方程,掌握圆的参数方程并能加以简单的应用 ●课后作业 习题779,10, ●板书设计 §77.3… 1.参数方程推导 推导…… 学生 与普通方程 2.圆的参数方程② 例6
推导：圆心为 O1（a,b）、半径为 r 的圆可以看成由圆心为原点 O、半径 为 r 的圆按向量 v =（a,b）平移得到. 即对于圆 O 上任意一点 P1（x1,y1）,在圆 O1 上必有一点 P（x,y），使 PP = OO = v 1 1 因为 OP = OP1 + P1P ，即（x,y）=(x1，y1)+（a,b） 所以 = + = + y y b x x a 1 1 ，由于点 P1（x1,y1）在以原点为圆心，r 为半径的圆上，所以存在参数θ，使 = = sin cos 1 1 y r x r 所以 = + = + sin cos y b r x a r . 3．圆的参数方程化普通方程： 方程组 = + = + sin cos y b r x a r 由①得 x－a=rcosθ ③ 由②得 y－b=rsinθ ④ ③2+④2 得：（x－a）2+(y－b) 2=r 2 即圆的普通方程. 4．例题讲解 例 6 如图 7—38，已知点 P 是圆 x 2+y 2=16 上的一个动点，点 A 是 x 轴上 的定点，坐标为（12，0）当点 P 在圆上运动时，线段 PA 的中点 M 的轨迹是 什么？ 解：设点 M 的坐标是（x,y）.因为圆 x 2 +y 2=16 的参数方程为 = = 4sin 4cos y x 所以可设点 P 的坐标为（4cosθ,4sinθ）.由线段中点坐标公式得点 M 的轨迹的参数方程为 = = + 2sin 6 2cos y x 所以，线段 PA 的中点 M 的轨迹是以点（6，0）为圆心，2 为半径的圆. Ⅲ.课堂练习 课本 P81 练习 1，2，3. ●课堂小结 师：通过本节学习，要求大家了解曲线的参数方程，掌握圆的参数方程并能加以简单的应用. ●课后作业 习题 7.7 9，10，11 ●板书设计 ① ② §7.7.3 …… 1．参数方程 推导…… 推导…… 学生 与普通方程 …… …… 2．圆的参数方程 ②…… 例 6…… 练习 ①…… …… ……
●教学后记
●教学后记