●教学目标 1掌握双曲线定义、标准方程 2.掌握焦点、焦距、焦点位置与方程关系 3认识双曲线的变化规律 ●教学重点双曲线的定义及标准方程 ●教学难点区分标准方程的两种不同形式 ●教学方法启发引导式 ●教具准备三角板、双曲线演示模板、幻灯片 ●教学过程 L导入新课 师:我们已经知道,与两定点的距离的和为常数的点的轨迹是椭圆,那么与两定点的距离的差为非零 常数的点的轨迹是怎样的曲线呢? (用双曲线演示模板画出双曲线)下面我们给出双曲线的定义,并研究双曲线的方程 ⅡL讲授新课 1双曲线的定义 我们把平面内与两个定点F、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于FF2|)的点的轨迹叫做双曲 线 说明①常数小于FF2 ②这两个定点叫做双曲线的焦点 ③这两焦点的距离叫双曲线的焦距 2.双曲线的标准方程 形式 1(a>0.b>0) 说明:此方程表示焦点在x轴上的双曲线焦点是F1(-c,0)、F(c0),这里c2=a2+b2 形式二:卫十 1(a>0.b>0) 说明:此方程表示焦点在y轴上的双曲线,焦点是Fi(0,-c)、F2(0 推导过程(用幻灯片给出): 如图8-12,建立直角坐标系xOy,使x轴经过点F1、F2,并且点O与线段F1F2的中点重合 设M(xy)是双曲线上任意一点,双曲线的焦距为2c(c>0), 那么,焦点F1、F2的坐标分别是(-c,0)、(c,0).又设M与F1、F2的 距离的差的绝对值等于常数2a 由定义可知,双曲线就是集合 P={MF|-|M|=±2 因为MF|=√(x+c)2+y2 M/2l=√ 图8-12
●教学目标 1.掌握双曲线定义、标准方程； 2.掌握焦点、焦距、焦点位置与方程关系； 3.认识双曲线的变化规律. ●教学重点 双曲线的定义及标准方程 ●教学难点 区分标准方程的两种不同形式 ●教学方法 启发引导式 ●教具准备 三角板、双曲线演示模板、幻灯片 ●教学过程 I.导入新课： 师：我们已经知道，与两定点的距离的和为常数的点的轨迹是椭圆，那么与两定点的距离的差为非零 常数的点的轨迹是怎样的曲线呢？ （用双曲线演示模板画出双曲线）下面我们给出双曲线的定义，并研究双曲线的方程. II.讲授新课： 1.双曲线的定义： 我们把平面内与两个定点 F1、F2 的距离的差的绝对值等于常数（小于 F1F2 ）的点的轨迹叫做双曲 线. 说明①常数小于 F1F2 ； ②这两个定点叫做双曲线的焦点； ③这两焦点的距离叫双曲线的焦距. 2.双曲线的标准方程： 形式一： 1 2 2 2 2 − = b y a x （a>0,b>0） 说明：此方程表示焦点在 x 轴上的双曲线.焦点是 F1(－c,0)、F2(c,0)，这里 c 2=a 2+b 2 . 形式二： 1 2 2 2 2 − = b x a y （a>0,b>0） 说明：此方程表示焦点在 y 轴上的双曲线，焦点是 F1(0，－c)、F2(0， c)，这里 c 2=a 2+b 2 . 推导过程（用幻灯片给出）： 如图 8—12，建立直角坐标系 xOy，使 x 轴经过点 F1、F2，并且点 O 与线段 F1F2 的中点重合. 设 M（x,y）是双曲线上任意一点，双曲线的焦距为 2c(c>0)， 那么，焦点 F1、F2 的坐标分别是(－c,0)、(c,0).又设 M 与 F1、F2 的 距离的差的绝对值等于常数 2a. 由定义可知，双曲线就是集合 2 . P = M MF1 − MF2 = a 因为 ( ) , 2 2 1 MF = x + c + y ( ) , 2 2 2 MF = x − c + y
所以得√(x+c)2+y2-√(x 将方程①化简得(a2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a 由双曲线的定义可知,2c2a,即c>a,所以c2-a2>0,令c2-a2=b2,其中b>0,代入上式得 1(a>0,b>0) 师:接下来,我们通过例题来熟悉双曲线的定义与标准方程 3例题讲解: 例1已知双曲线两个焦点的坐标为F1(-5,0)、F2(5,0),双曲线上一点P到F1、F2的距离的差 的绝对值等于6,求双曲线的标准方程 解:因为双曲线的焦点在x轴上,所以设它的标准方程为: =1(a>0,b>0) 2a=6,2c=10, ∴a=3,c=5 所以所求双曲线的标准方程为 说明:例1目的在于让学生熟悉双曲线的定义与标准方程的形式 Ⅲ课堂练习 课本Pon1、2 ●课堂小结 师:通过本节学习,要求大家掌握双曲线的定义及其标准方程的推导,并利用焦点、焦距与方程关系 确定双曲线方程 ●课后作业 习题8.3 要求学生注意书写的规范性 ●板书设计 §8.3.1… 1双曲线定义 2标准方程 3例1… 学生 形式 练习 形式二 ●教学后记
所以得 ( ) ( ) 2 . 2 2 2 2 x + c + y − x − c + y = a ① 将方程①化简得(c 2－a 2 )x 2－a 2 y 2=a 2 (c 2－a 2 ). 由双曲线的定义可知，2c>2a，即 c>a，所以 c 2－a 2>0，令 c 2－a 2=b 2，其中 b>0，代入上式得 1 2 2 2 2 − = b y a x (a>0,b>0). 师：接下来，我们通过例题来熟悉双曲线的定义与标准方程. 3.例题讲解： 例 1 已知双曲线两个焦点的坐标为 F1（－5，0）、F2（5，0），双曲线上一点 P 到 F1、F2 的距离的差 的绝对值等于 6，求双曲线的标准方程. 解：因为双曲线的焦点在 x 轴上，所以设它的标准方程为： 1 2 2 2 2 − = b y a x (a>0,b>0). ∵2a=6,2c=10, ∴a=3,c=5. ∴b 2=52－3 2=16 所以所求双曲线的标准方程为 1 9 16 2 2 − = x y 说明：例 1 目的在于让学生熟悉双曲线的定义与标准方程的形式. III.课堂练习： 课本 P107 1、2. ●课堂小结 师：通过本节学习，要求大家掌握双曲线的定义及其标准方程的推导，并利用焦点、焦距与方程关系 确定双曲线方程. ●课后作业 习题 8.3 2，4，5. 要求学生注意书写的规范性. ●板书设计 ●教学后记 §8.3.1… 1.双曲线定义 2.标准方程 3.例 1… 学生 … 形式一：… ┆ 练习 形式二：…