第十讲 唯一决定分式线性映射的条件
第十讲 唯一决定分式线性映射的条件
s3唯一决定分式线性映射的条件 m1.分式线性映射的存在唯一性 口2.舉例
1. 分式线性映射的存在唯一性 2. 举例 §3 唯一决定分式线性映射的条件
1分式线性映射的存在唯一继 虽然="z+b 含有a,b,c,d四个常数实际只 cz+d 有三个是独立的 所以只需给定三个条件就能决定一个分式 线性映射我们有: 定理在z平面上任意给定三个样的点1,23 在w平面上也任意给定三相异的点w,w2,w3 →存在唯一的分式线性时f(z): f:zk->形k(k=1,2,3)
. , , , , 有三个是独立的 虽 然 含 有a b c d四个常数 实际只 cz d az b w + + = , : , , 线性映射 我们有 所 以 只需给定三个条件就能决定一个分式 : ( 1,2,3) ( ): , , , , , 1 2 3 1 2 3 ⎯→ = f z w k f z w w w w z z z z k f k 存在唯一的分式线性映射 在 平面上也任意给定三个相异的点 定理 在 平面上任意给定三个相异的点 1. 分式线性映射的存在唯一性
证明设w= az+ b (ad-be≠0),将x4(k=1,2,3)依次 cz+d z 十 →P(k=1,23),即w(k=1,2,3) k (a-k(ad-bc) 因而有w-wk(cz+d)(c+(k=1,2) (z3 -zk(ad-bc) k (cz3+)(ck+、 w-w,(z-1(ad-bc)(c),+d )-,(c2 +d) w-w(ci+d)(cz,+d)(z-Gad=) -z2(c,+d)
( 1,2,3), ( 1,2,3) ( 0), ( 1,2,3) = + + → = = − = + + = k cz d az b w k w ad bc z k cz d az b w k k k k k 即 证明 设 将 依 次 ,( 1,2) ( )( ) ( )( ) = + + − − − = k cz d cz d z z ad bc w w k k 因而有 k ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 1 2 2 1 2 2 1 1 2 1 cz d cz d z z z z z z ad bc cz d cz d cz d cz d z z ad bc w w w w + + − − = − − + + + + − − = − − ,( 1,2) ( )( ) ( )( ) 3 3 3 = + + − − − = k cz d cz d z z ad bc w w k k k
同理 z3-1(Cz2+d) z3 -2(C1+d) 所求分式线性映射 故 W-WW3-,z-13-z W-W,W3-1z-3 Z1 ④式(1)是三对点所确定的唯一的一个映射。 ②点 由①点w 且等式两边依次同时变为, ③式(1)左端的式子通常称为四个点 w,1,w2,w3的交比( cross- ratio) 因此,式(1)说明分式线性映射具有保交比不变性
(1) 3 1 3 2 2 1 3 1 3 2 2 1 − − − − − − = − − − − z z z z z z z z w w w w w w w w 故 3 2 3 1 3 2 3 1 z z z z w w w w − − = − − 同理 ( ) ( ) 1 2 cz d cz d + + ① 式(1)是三对点所确定的唯一的一个映射。 0, ,1. , , 1 2 3 (1) 1 2 3 ⎯ ⎯→ 等式两边依次同时变为 由 且 ② 点 z z z 点w ，w ，w , , , ( ). (1) 1 2 3 w w w w 的交比 cross − ratio ③式 左端的式子通常称为四个 点 ~~~~~~~~~~~~ 所求分式线性映射 因此，式(1)说明分式线性映射具有保交比不变性
由分式线性映射的存在唯一性定理知: 在已知圆周和C上分别取定三个不同 点以后必存在分式线性映射将C-F→C 以下讨论这个映射会把C的内部映射成什么? C将z平面划分为两个区域内部为d1,外部为d2, 它的象C"把和平面分为内部1,外部D2,则可以断 定d的象F(d1)必然是D1,D2中的一个而2的象 F(2是D和D2中的另一个(不可能把d1的部分映 入D1,d1的另一部分映入D2
, '. ' F C C C C 点以后 必存在分式线性映射 将 ⎯F → 在已知圆周 和 上分别取定三个不同 由分式线性映射的存在唯一性定理知： 以下讨论这个映射会把C的内部映射成什么？ 是 和 中的另一个 定 的 象 必然是 中的一个 而 的 象 它的象 把 平面分为内部 外 部 则可以断 将 平面划分为两个区域内部为 外部为 ， 2 1 2 1 1 1 2 2 1 2 1 2 ( ) ( ) , , ' , , : , F d D D d F d D D d C w D D C z d d (不可能把d1的部分映 入D1，d1的另一部分映入D2 )
事实上, 设z1,z2∈d,若线段z1z2→>圆弧w1w2(或直线段v1,w2) 且v1∈D2,w2∈D1→弧ww2必与C交于一点Q∈C", 它一定是C上某点的象由假设Q又是x1z2上某一点的 象,就有两个不同的点一个在圆周C上,另一在线段 z1z2上被映射为同一点 C 这与分式线性映射的一对应性相矛盾
, ' ' , , , ( , ), 1 2 2 1 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 w D w D w w C Q C z z d z z w w w w F → 且 弧 必 与 交于一点 设 若线段 圆 弧 或直线段 ⌒ ⌒ ) . z1 z2 上 被映射为同一点 事实上， d1 d2 F → D1 C C' D2 2 z 1 z w2 w1 Q 这与分式线性映射的一一对应性相矛盾! 象 就有两个不同的点一个在圆周 上 另一在线段 它一定是 上某点的象由假设 又 是 上某一点的 , ( , , 1 2 C C Q z z
由以上讨论给出确定对应区域的两个方法: (1)z0∈l1,若wo=F(z)∈D1→d1→>D1; 否则若wo=F(xo)∈D2→d1→>D2 (2)z,z2,z3∈C,则 (z1),w2=F(z2) v3=F(x3)∈C 若C依z1→z2→z的绕向与C依形→w2→>形的 绕向相同时那么d1D1,反之d1-D2 (沿曲线方向绕行时在观察者左方的区域
( ) ' (2) , , , ( ), ( ), 3 3 1 2 3 1 1 2 2 w F z C z z z C w F z w F z = 则 = = , ( ) . (1) , ( ) ; 0 0 2 1 2 0 1 0 0 1 1 1 w F z D d D z d w F z D d D F F = → = → 否 则 若 若 由以上讨论给出确定对应区域的两个方法： ( , ) , , 1 1 1 2 1 2 3 ' 1 2 3 沿曲线方向绕行时在观察者左方的区域 绕向相同时 那 么 反 之 若 依 的绕向与 依 的 d D d D C z z z C w w w ⎯F → ⎯F → → → → →
事实上过作C的一段法线1zx1zcd1,于是, 顺着z1→z→3看,在观察者的左方象F(x1z) 是过w,并与C"正交的一段圆弧或者直线段 由于在乙的保角性顺着1,形2,w3看,F(x1x)也 应在观察者的左方d1→D1;反之1FD2 C
d1 d2 C D2 D1 C' F → 事实上 , ; , , , , ( ) 1 1 1 1 2 3 1 d D z w w w F z z 应在观察者的左方 ⎯F → 由于在 的保角性 顺 着 看 也 , , 过z1 作C的一段法线z1 z z1 z d1 于 是 , ' ( ) , , ( ) 1 1 2 3 1 1 是 过 并 与 正交的一段圆弧或者直线段 顺 着 看 在观察者的左方象 w C z → z → z z z F z z d1 D2 反之 ⎯F → 2 z 1 z 3 z z w2 w1 w3 w
由上一节和本节的讨论,还有以下结论: (当二圆周上没有点映射无穷远点时这二 圆周的弧所围成的区域>二圆弧所围成的 区域; (I)当二圆周上有一个点时成∞点时,这二 圆周的弧所围成的区域一圆弧与 直线所围成的区域 Ⅲ)当二圆周交点中的一个「>∞点时,这二 圆周的弧所围成区域>角形区域
. ( ) , 圆周的弧所围成区域 角形区域 Ⅲ 当二圆周交点中的一个 点 时 这 二 ⎯→ ⎯→ F F ; ( ) , 直线所围成的区域 圆周的弧所围成的区域 一圆弧与一 Ⅱ当二圆周上有一个点映射 成 点 时 这 二 ⎯→ F ; ( ) , 区 域 圆周的弧所围成的区域 二圆弧所围成的 Ⅰ当二圆周上没有点映射成无穷远点时这 二 ⎯F → 由上一节和本节的讨论，还有以下结论：