生第五章大数定理与中心极限定理 “概率是频率的稳定值”。前面已经提到,当 随机试验的次数无限增大时,频率总在其概 率附近摆动,逼近某一定值。大数定理就是 从理论上说明这一结果。正态分布是概率论 中心极限定理阐明,原本不是正态分布的一 般随机变量总和的分布,在一定条件下可以 渐近服从正态分布。这两类定理是概率统计 中的基本理论,在概率统计中具有重要地位。 上页
第五章 大数定理与中心极限定理 • “概率是频率的稳定值”。前面已经提到，当 随机试验的次数无限增大时，频率总在其概 率附近摆动，逼近某一定值。大数定理就是 从理论上说明这一结果。正态分布是概率论 中的一个重要分布，它有着非常广泛的应用。 中心极限定理阐明，原本不是正态分布的一 般随机变量总和的分布，在一定条件下可以 渐近服从正态分布。这两类定理是概率统计 中的基本理论，在概率统计中具有重要地位
§1大数定理 §1契比雪夫( Chebyshev)不等式 :定理(契比雪夫 Chebyshev不等式):设随机变 量X具有数学期望E(X)=μ,方差D(X)2,则对于任 意正数有 工工工 (r-ukess 台P(X-山s/≥1- 上页
§1 大数定理 ( ) 2 2 | | P X − • 定理（契比雪夫(Chebyshev)不等式）:设随机变 量X具有数学期望E(X)=μ,方差D(X)=σ2 ,则对于任 意正数ε,有 ( ) 2 2 1 P X − − §1.1 契比雪夫(Chebyshev)不等式
证明(1)设X的概率密度为p(x),则有 PxEa}=Jmx)≤∫区x p(x)dx x-≥E x-|≥E 2 (x-)2p(x)dx=-2 上(2)设离散型随机变量X的分布律为P(X=x}=P,则有 列Xs}=∑PX=x} 工工 xk1≥E s∑Px=x}s1∑以x-n= xk-|≥E 上页
− − = | | {| | } ( ) x P X p x dx − − = = | | {| | } { } k x k P X P X x 证明 (1)设X的概率密度为p(x),则有 (2)设离散型随机变量X的分布律为P{X=xk}=pk ,则有 − − | | 2 2 ( ) | | x p x dx x 2 2 2 2 ( ) ( ) 1 − = + − x p x dx − = − | | 2 2 { } [ ] k x k k P X x x 2 2 2 2 [ ] 1 − k = k xk p
王 A·例:在供暖的季节住房的平均温度为20度标 准差为度试估计住房温度与平均温度的偏差 上的绝对值小于4度的概率的下界 解 221 P{x-204}≤ 424 P{x-204} =1-P{X-204} C 11 4 上页
4 1 4 2 {| 20 | 4} 2 2 P X − = • 例:在供暖的季节,住房的平均温度为20度,标 准差为2度,试估计住房温度与平均温度的偏差 的绝对值小于4度的概率的下界. 解 P{| X − 20 | 4} =1− P{| X − 20 | 4} 4 3 4 1 1− =
例:已知随机变量Ⅹ的数学期望为E(X)=p,方 差D(X)=a2,当E=2a和E=3时,试用切比雪夫 出不等式求概率(x-川≥)的近似值 解当E=2O时 P(X-川2)≤ 4 当E=3o时 X-≥30)≤Q O 上页
例：已知随机变量 X 的数学期望为 E(X)=μ，方 差 2 D(X ) = ，当 = 2 和 = 3 时，试用切比雪夫 不等式求概率 P( X − )的近似值. 解 当 = 2时 ( ) ( ) 4 1 2 2 2 2 − = P X 当 = 3时 ( ) ( ) 9 1 3 3 2 2 − = P X
王312大数定律 定义:设{X}是随机变量序列,数学期望 E(Xk=1,2,)在,若对于任意e>0,有 lim P& ∑ ∑E(Xk)|e}=1 n→> k=1 Xk nk= 工工工 则称随机变量序列{Xn}服从大数定律 上页
§1.2 大数定律 ( )| } 1 1 1 lim {| 1 1 − = = = → n k k n k k n E X n X n P • 定义:设{Xk}是随机变量序列，数学期望 E(Xk )(k=1,2,...)存在，若对于任意ε >0，有 则称随机变量序列{Xn}服从大数定律
王 定理(契比雪夫 Chebyshev)大数定律):设{X}是 两两不相关的随机变量序列,具有数学期望E(X)和方 平差DxXk=121若存在常数C使得D(X 王(=12.).则对于任意给定的e恒有 王叫1取x 证明记x,=∑X 则E(Xn)=E(∑X)=∑E(X) n k=l k=1 工工工 D(X)=D(∑X)=∑D(Xk) n 王所以mP2x,2(x)a=mPx一E(x,)ka lim( D(X ≥lim(1 n→)0 na 上页
( )| } 1 1 1 lim {| 1 1 − = = = → n k k n k k n E X n X n P , 1 1 = = n k n Xk n 记 X • 定理（契比雪夫(Chebyshev)大数定律）:设{Xk}是 两两不相关的随机变量序列,具有数学期望E(Xk )和方 差D(Xk )[k=1,2,...].若存在常数C,使得D(Xk ) ≤C(k=1,2,…),则对于任意给定的ε>0,恒有 证明 ( ) | } 1 1 lim {| 1 1 − = = → n k k n k k n E X n X n 所以 P n C D X n X n D X D n k k n k n = k = =1 =1 ( ) 1 ) 1 ( ) ( ) lim (1 ) 1 ( ) lim (1 2 2 − − = → → n D X C n n n = = = = n k k n k n k E X n X n E X E 1 1 ( ) 1 ) 1 则 ( ) ( = lim {| − ( )| } → n n n P X E X
推论(契比雪夫大数定律的特殊情况:设{Xk}是 平两两不相关的随机变量序列具有相同的数学期望 上E(X)和方差D(x)(k=1,2,),则对于任意给 王定的∞0恒有 lim P&∑Xk-|<}=1 k 中注:B(∑x,)=∑(x)=∥ n k= 上页
| } 1 1 {| 1 lim − = → = n k k n X n P • 推论(契比雪夫大数定律的特殊情况):设{Xk}是 两两不相关的随机变量序列,具有相同的数学期望 E(Xk )=μ和方差D(Xk )=σ2 (k=1,2,…),则对于任意给 定的ε>0,恒有 注: = = = = n k k n k k E X n X n E 1 1 ( ) 1 ) 1 (
例:设随机变量X1X2…X"…相互独立,且有如 下表的分布律,问:对随机变量X1X2…Xn2…可 否使用大数定理 X √2 (i=1,2, P 4 2 4 解因为X1,X2…Xm…相互独立,E(x)=0,E(x2)=1 又D(x)=E(x2)[E(x)=1-0=1,(=12,…,n2…) 所以满足切比雪夫大数定理的条件,可使用大数定理
例: 设随机变量X1 , X2 , , Xn , 相互独立，且有如 下表的分布律，问：对随机变量X1 , X2 , , Xn , 可 否使用大数定理？ Xi − 2 0 2 i p 4 1 2 1 4 1 (i =1,2, , n, ) 解 因为 X1 , X2 , , Xn , 相互独立，E(Xi ) = 0， ( ) 1 2 E X i = 又 ( ) ( ) ( ) 2 2 D Xi = E Xi − E Xi =1−0 =1，(i =1,2, , n, ) 所以,满足切比雪夫大数定理的条件,可使用大数定理
王伯里大数定律设进行次独立重复试验,每 次试验中事件A发生的概率为p,记fn为m次试验中 c事件A发生的频率,则 fn→>pn→>∞o 证明设 =1第次试验事件A发生 0第i次试验事件A不发生 则 E(X1)=p,D(X)=p(1-p) 牛由切比雪夫大数定律 ∑X fr =1 上页 圆
伯努里大数定律: 设进行n次独立重复试验，每 次试验中事件A发生的概率为p，记fn为n次试验中 事件A发生的频率，则 f → p n → p n 证明:设 = 0 1 Xi 第i次试验事件A发生 第i次试验事件A不发生 则 E(X ) p,D(X ) p(1 p) i = i = − 由切比雪夫大数定律 p n X f P n i i n = → =1