丰第四章随机变量的数字特征 ·我们知道,随机变量的分布列或概率密度,全面 地描述了随机变量的统计规律.但在许多实际问 题中这样的全面描述并不使人感到方便 王·已知一只母鸡的年产蛋量是一个随机变量如 庄果要比较两个品种的母鸡的年产蛋量通常只要 可以了平均值大就意味着这个品种的母鸡的产 蛋量高如果不去比较它们的平均值而只看它们 的分布列,虽然全面却使人不得要领,既难以掌握 ,又难以迅速地作出判断 上页
第四章 随机变量的数字特征 • 我们知道,随机变量的分布列或概率密度,全面 地描述了随机变量的统计规律.但在许多实际问 题中,这样的全面描述并不使人感到方便. • 已知一只母鸡的年产蛋量是一个随机变量,如 果要比较两个品种的母鸡的年产蛋量,通常只要 比较这两个品种的母鸡的年产蛋量的平均值就 可以了.平均值大就意味着这个品种的母鸡的产 蛋量高.如果不去比较它们的平均值,而只看它们 的分布列,虽然全面,却使人不得要领,既难以掌握 ,又难以迅速地作出判断
王91随机变量的数学期望 §11离散型随机变量的数学期望 例:有A,B两射手,他们的射击技术如表所 示,试问哪一个射手本领较好? 射手名称 A B 击中环数89108910 概率 030.1060.20.503 上页
§1 随机变量的数学期望 §1.1 离散型随机变量的数学期望 • 例：有A，B两射手，他们的射击技术如表所 示，试问哪一个射手本领较好？ 概率 0.3 0.1 0.6 0.2 0.5 0.3 击中环数 8 9 10 8 9 10 射手名称 A B
例:某手表厂在出厂产品中抽查了N=100只手 表的日走时误差,其数据如表: 日走时误21012 34 只数N 310172821165 则抽查到的100只手表的平均日走时误差为 ∑xN 8(-2)3+(-1)·10+017+1·28+2.21+3:16+45 1.22 N 即平均值=∑x N ∑xk·f 上页
5 4 只数Nk 3 10 17 28 21 16 日走时误差xk -2 -1 0 1 2 3 1.22 100 ( 2) 3 ( 1) 10 0 17 1 28 2 21 3 16 4 5 = − + − + + + + + = = N x N x k k k = = k k k k x f N N 平均值 x 则抽查到的100只手表的平均日走时误差为 即 • 例:某手表厂在出厂产品中,抽查了N=100只手 表的日走时误差,其数据如表:
如果另外再抽验100只手表每作一次这样的检 验,就得到一组不同的频率,也就有不同的日走时误 差的平均值由关于频率和概率关系的讨论知,理论 上应该用概率去代替上述和式的频率,这时得到的 平均值才是理论上(也是真正)的平均值 工工工 中·这样我们就引出了随机变量的数学期望的概念 上页
• 如果另外再抽验100只手表,每作一次这样的检 验,就得到一组不同的频率,也就有不同的日走时误 差的平均值.由关于频率和概率关系的讨论知,理论 上应该用概率去代替上述和式的频率,这时得到的 平均值才是理论上(也是真正)的平均值. • 这样我们就引出了随机变量的数学期望的概念
定义:设离散型随机变量ⅹ的概率分布为 PX=xk=pk k=1,2, 如若 ∑|xk|pk<+∞ 则称∑xP为随机变量X的数学期望,记为E(X) 如果 ∑|xk|pk=+∞ k 则称随机变量X的数学期望不存在 上页
P{X = x } = p k = 1,2,... k k + k k pk | x | k k xk p • 定义:设离散型随机变量X的概率分布为 如若 则称 为随机变量X的数学期望,记为E(X). • 如果 = + k k pk | x | 则称随机变量X的数学期望不存在
例:有A,B两射手,他们的射击技术如表所示, 试问哪一个射手本领较好? 射手名称 A B 击中环数89108910 概率 030.10.60.20.50.3 解A射击平均击中环数为 8×0.3+9×0.1+10×0.6=93 B射击平均击中环数为 8×0.2+9×0.5+10×0.3=9.1 所以的射击技术较B的好 上页
所以A的射击技术较B的好. 概率 0.3 0.1 0.6 0.2 0.5 0.3 击中环数 8 9 10 8 9 10 射手名称 A B 8 0.3 + 9 0.1+10 0.6 = 9.3 8 0.2 + 9 0.5 +10 0.3 = 9.1 • 例:有A，B两射手，他们的射击技术如表所示， 试问哪一个射手本领较好？ 解 A射击平均击中环数为 B射击平均击中环数为
例:某工人工作水平为:全天不出废品的日子 占230,)出一个废品的日子占40,出二个废品 c占20%,出三个废品占10%。 王①设x为一天中的废品数,求X的分布律 王②这个工人平均每天出几个废品? 解①分布律为:X0123 P|0.3040.2|01 ②平均废品数为: E(X)=0×0.3+1×04+2×0.2+3×0.1=1.1(个/天) 上页
例：某工人工作水平为：全天不出废品的日子 占 30%，出一个废品的日子占 40%，出二个废品 占 20%，出三个废品占 10%。 ① 设 X 为一天中的废品数，求 X 的分布律； ② 这个工人平均每天出几个废品？ 解 ① 分布律为： X 0 1 2 3 P 0.3 0.4 0.2 0.1 ② 平均废品数为： E X( ) 0 0.3 1 0.4 2 0.2 3 0.1 1.1( / = + + + = 个 天）
例:设随机变量X具有如下的分布,求E(X) PX=(-1).2k 1 k 2 k k=1.2 解虽然有 牛∑xPx==2740.21=27k=-h2 k k=1 k 2k k 收敛,但 ∑x=∑ =+ k=1 k 发散因此E(X不存在 上页
• 例:设随机变量X具有如下的分布，求E(X). , 1,2,... 2 1 } 2 { = (−1) = k = k P X k k k 解 虽然有 k k k k k k k k x P X x 2 2 1 { } ( 1) 1 1 = = − = = 收敛,但 发散,因此E(X)不存在. ln 2 1 ( 1) 1 = − = − k= k k 1 1 1 k k k k x p k = = = = +
士 §11.1(0-1)分布数学期望 设X的分布列为 0 P q P 其中0<p<1q=1-p 则E(X)=0×q+1×p=p 上页
§1.1.1（0-1）分布数学期望 设X的分布列为： X 0 1 P q p 0 p 1 < < q p = −1 则 E X q p p ( ) 0 1 = + = 其中
士士 §11.2二项分布数学期望 ·定理:设随机变量X服从二项分布,即 P{Y=k}=Cp气qk k=0.,2,,n 平则随机变量X的数学期望ExX)p 证明E(X)=∑kPX=k}=∑kC k=0 k=1 k·n! k np(n-D) 工工工 p q k-l k! (n-k) 石(k-1)(n-1)-(k-1)(m-)=(k-0 m∑ (n-1 -1(n-1)-(k-1) k=1=0(k-1)(n-1)-(k-1) =mp(p+q)”=mp 上页
§1.1.2 二项分布数学期望 P X k C p q k n k k n k n { = } = = 0,1,2,..., − = = − = = = n k n k k k n k E X k P X k k Cn p q 0 1 ( ) { } • 定理:设随机变量X服从二项分布,即 则随机变量X的数学期望E(X)=np. 证明 k n k n k p q k n k k n − = − = 1 !( )! ! 1 ( 1) ( 1) 1 ( 1)![( 1) ( 1)]! ( 1)! − − − − = − − − − − = k n k n k p q k n k np n 1 ( 1) ( 1) 1 1 0 ( 1)![( 1) ( 1)]! ( 1)! − − − − − − = − − − − − = k n k n k p q k n k n np np p q np n = + = −1 ( )
