西安交通大学：《复变函数》课程PPT教学课件（第四版）第三讲 解析函数的充要条件初等函数 §2.2 解析函数的充要条件 §2.3 初等函数

第三讲解析函数的充要条件 初等函数

第三讲 解析函数的充要条件 初等函数

§22解析函数的充要条件 m1解析函数的充要条件 口2.舉创

 1. 解析函数的充要条件  2. 举例 §2.2 解析函数的充要条件

如果复变函数w=f(z)=u(x,y)+ⅸivx,y)在定 义域D内处处可导,则函数w=f(z)在D内解析 问题如何判断函数的解析性呢? 本节从函数u(x,y)及v(x,y)的可导性,探求 函数w=f(z)的可导性,从而给出判别函数解析的 个充分必要条件,并给出解析函数的求导方法

如果复变函数 w = f (z) = u(x, y) + iv(x, y)在定 义域 D内处处可导，则函数 w = f (z) 在 D内解析。 本节从函数 u (x , y) 及 v (x , y) 的可导性，探求 函数w=f (z) 的可导性，从而给出判别函数解析的 一个充分必要条件，并给出解析函数的求导方法。 问题 如何判断函数的解析性呢？

解析函的克要条件 设函数=f(z)=u(x,y)+iw(x,y)在点 z=x+j可导,则 f∫(z+△x)-f(z) lu(x+△x,y+Δy)+iv(x+Δx,y+Δy)-[(x,y)+i(x,y) △x+i△y

一 . 解析函数的充要条件 x i y u x x y y i v x x y y u x y i v x y  +  +  +  + +  +  − + = [ ( , ) ( , )] [ ( , ) ( , )] 可 导 则 设函数 在 点 , ( ) ( , ) ( , ) z x i y w f z u x y i v x y = + = = + =  +  − z f (z z) f (z)

若沿平行于实轴的方式+△x→>(4y=0) ∫'(z)=lim ∫(x+△x)-∫(z) Az→0 =imn{a(x+Ax,y)+ⅳv(x+△x,y)-{(x,y+mx,以 △x→>0 △ =im以(x+△y)-(x,y)+m(x+△E,y)-(x,y) △→>0 △ △→>0 △ Ou av L ax ax

x v x x y v x y i x u x x y u x y x u x x y i v x x y u x y i v x y z f z z f z f z x x x z  +  − +  +  − =  +  + +  − + =  +  −  =  →  →  →  → ( , ) ( , ) lim ( , ) ( , ) lim [ ( , ) ( , )] [ ( , ) ( , )] lim ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 若沿平行于实轴的方式z + z → z(y = 0) x v i x u   +   =

若沿平行于虚轴的方式+△x→>孔△=0 ∫(z)=im f∫(z+△x)-∫(z) lim lu(x, y+Ay)+iv(x, y+Ar )-[叭(x,y)+iv(x,y △y→>0 i lim u(x, y+Ay-u(x, y) +i lim v(x,y+Δy)-v(x,y) △y→0 iAl △y→>0 LAy 1o+= du i ay ayay ay

i y v x y y v x y i i y u x y y u x y i y u x y y i v x y y u x y i v x y z f z z f z f z y y y z  +  − +  +  − =  +  + +  − + =  +  −  =  →  →  →  → ( , ) ( , ) lim ( , ) ( , ) lim [ ( , ) ( , )] [ ( , ) ( , )] lim ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 若沿平行于虚轴的方式z + z → z(x = 0) y u i y v y v y u i   −   =   +   = 1

f"(z)存在 记忆 axax ay a 0a0 uxy × ax ay ax aj p 定义方程 ax ay ax ay 称为 Cauchy- Riemann方程简称CR方程

y u x v y v x u y u i y v x v i x u f z   = −     =      −   =   +     '( )存 在  记忆 y v x v y u x u       −   定义 方程 称为Cauchy-Riemann方程(简称C-R方程). y u x v y v x u   = −     =  

定理1设∫()=u(x,y)+iv(x,y)在D内有定义, 则f(x在点2=x+∈D处可导的充要条件是 u(x,y)和u(x,y)在点(x,y)可微,且满足 Cauchy-Riemann方程 du ox ay ax a1 上述条件满足时,有 f()=u+ivx=ux-iu,=vy-iu, =v+ivx

定理1 设 f (z) = u (x, y) + iv(x, y)在 D 内有定义， 则 f (z)在点 z=x+iy ∈D处可导的充要条件是 u(x, y) 和 v(x, y) 在点 (x, y ) 可微，且满足 Cauchy-Riemann方程 y u x v y v x u   = −     =   上述条件满足时,有 x x x y y y y x f '(z) = u + i v = u − i u = v − i u = v + i v

证明→ (由f()的可导三>C-R方程满足上面已证!只须证 f(x)的可导一函数u(x,y)、vx,y)可微)。 函数w-f()点z可导,即 f(z=lim f∫(z+△z)-∫(x) △z→>0 设p(△z)= f∫(z+△z)-f(z) f"(z) 则f(z+Az)f(z)=f'(z)Az+p(Az)Az(1),且 imp(△z)=0 Az→0

证明 （由f (z)的可导 C-R方程满足上面已证！只须证 f (z)的可导 函数 u(x, y)、v(x, y)可微）。  ""  ∵函数 w =f (z)点 z可导，即 '( ) ( ) ( ) ( ) f z z f z z f z z −  +  − 设   = 则 f (z+ Δz)-f(z)=f (z)Δz+(Δz)Δz (1), 且 z f z z f z f z z  +  − =  → ( ) ( ) '( ) lim 0 lim ( ) 0 0  =  → z z 

令:∫(x+△z)-f(z)=M+边v,∫(l)=a+i, p(Az)=p1+ip2故(1)式可写为 A+iν=(+i(Ax+iy)+(p1+ip2)△x+iy) =(aAx-b+p1△xp24y) +i(bAx+aAy+paX+p Ay) 因此△n=Ax-bAy+p1△x-p24y △vbAx+a△y+p2Ax+p14y ∠→0 A→ 4x022=0 imp(4z)=0∴limp1=lim 4y→>0 ∠y→>0 p1Ac n2△x+p1△y →Im Oli 0 A→)0 △x→>0 △z △y→>0

Δu+iΔv = (a+ib)(Δx+iΔy)+(1+i2 )(Δx+iΔy) =(aΔx-bΔy+1Δx−2Δy) +i(bΔx+aΔy+2Δx+1Δy) 令：f (z+Δz) − f (z)=Δu+iΔv，f (z)= a+ib， (Δz)=1+i2 故（1）式可写为 因此 Δu=aΔx−bΔy+1Δx−2Δy , Δv=bΔx+aΔy+2Δx+1Δy lim ( ) 0 0 = → z z     lim lim 2 0 0 0 1 0 0  = = → → → →       y x y x lim 0 1 2 0 0 = −  → → z x y y x        lim 0 2 1 0 0 =   +   →  → z x y y x  