回归定义巧妙证题 口河北正定中学赵建勋 椭圆的定义不仅是推导方程的基础,而且是证题的一把金钥匙待证题目中有焦点的条件,常从定义出 发,寻求证题方法,为证题创造条件,兹举例如下 例1已知P(x)是椭圆+,=1(a>b>0)上的任意一点,F1 F2是焦点,求证:以PF2为直径的圆必和以椭圆长轴为直径的圆相内切 证明设以PF2为直径的圆心为A,半径为r ∵F1、F2为焦点,所以由椭圆定义知 PPF1l+PF2F=2a, PPF2=2r PPF1l+2r=2a, BpPF1l=2 (a-r) 连结OA,由三角形中位线定理,知 O=|PF1F=×2(a-r)=a-r 故以PF2为直径的圆必和以长轴为直径的圆相内切 评注运用椭圆的定义结合三角形中位线定理,使题目得证 例2设P是椭圆2+2=1(a>b>0)上的一点,F F2是椭圆的 焦点,且∠F1PF=90°,求证:椭圆的率心率e≥ 证明∵P是椭圆上的点,F1、F2是焦点,由椭圆的定义,得PF1H+PF2=2a 在R△F1PF2中,|PF1+|PF2=FF2P2=(2c)2=4c2 由①,得|PFP+2|PF‖PF2|+|PF2P2=4a2 PFi|·|PF2=2(x2-c2) 由①和②,据韦达定理逆定理,知PFl·|PF2是方程=2-3a+2(a2-c2)=0的两根, 则△=4a2-8(a2-c2)≥0, (-)2≥,即e≥ 例3P为椭圆2+2=1(a>b>0)上的点,F1、F2是椭圆的焦点,e 为离心率若∠PF1F2=a,∠PF2F1=B,求证: ) a+B COS coS 证明由椭圆定义,知PFiH+|PF2|=2a,F1F=2c
—1— 回归定义巧妙证题 □ 河北正定中学 赵建勋 椭圆的定义不仅是推导方程的基础，而且是证题的一把金钥匙.待证题目中有焦点的条件，常从定义出 发，寻求证题方法，为证题创造条件，兹举例如下： 例 1 已知 P（x0,y0）是椭圆 1 2 2 2 2 + = b y a x （a＞b＞0）上的任意一点，F1、 F2 是焦点，求证：以 PF2 为直径的圆必和以椭圆长轴为直径的圆相内切. 证明 设以 PF2 为直径的圆心为 A，半径为 r. ∵F1、F2 为焦点，所以由椭圆定义知 |PF1|+|PF2|=2a，|PF2|=2r ∴|PF1|+2r=2a，即|PF1|=2（a－r） 连结 OA，由三角形中位线定理，知 |OA|= 2( ) . 2 1 | | 2 1 1 PF = a − r = a − r 故以 PF2 为直径的圆必和以长轴为直径的圆相内切. 评注 运用椭圆的定义结合三角形中位线定理，使题目得证. 例 2 设 P 是椭圆 1 2 2 2 2 + = b y a x （a＞b＞0）上的一点，F1、 F2 是椭圆的 焦点，且∠F1PF2=90°，求证：椭圆的率心率 e≥ 2. 2 证明 ∵P 是椭圆上的点，F1、F2 是焦点，由椭圆的定义，得|PF1|+|PF2|=2a ① 在 Rt△F1PF2 中, 2 2 2 1 2 2 2 2 | PF1 | + | PF | =| F F | = (2c) = 4c 由①2，得 2 2 1 2 2 2 | PF1 | +2 | PF || PF | + | PF | = 4a ∴|PF1|·|PF2|=2(a 2－c 2 ) ② 由①和②，据韦达定理逆定理，知|PF1|·|PF2|是方程 z 2－3az+2(a 2－c 2 )=0 的两根， 则△=4a 2－8(a 2－c 2 )≥0, ∴( a c ) 2≥ 2 1 ，即 e≥ 2 2 . 例 3 P 为椭圆 1 2 2 2 2 + = b y a x （a＞b＞0）上的点，F1、F2 是椭圆的焦点，e 为离心率.若∠PF1F2=α，∠PF2F1=β，求证： . 2 cos 2 cos − + e = 证明 由椭圆定义，知|PF1|+|PF2|=2a，|F1F2|=2c
e C a 2a PF I+I PF 由正弦定理,得PFi|=2 Rsin B,PF=2 Rsin a,FiF=2Rsin(a+P) 2Rsin(a+B) sin(a+B) I PFI+I PF2I 2R(sin a+sin B) sin a+sin B 2 sin +B a+B a+B coS coS a 2 sin B coS coS -B 例4P是椭圆+=1(a>b>0)上的任意一点,F1、F2是焦点,半短轴为b且∠F1PF2=a 求证:△PF2的面积为bga 证明由椭圆的定义知PF|+PF=2a,又1F=2c 在△PF1F2中,由余弦定理,得 I FF2=PF+I 1-2I PF I- I PF2 Icosa (2c)=PFI+I PF2 1-2 PF I I PF2 Icosa =(PF I+ PF2 D-2 PF I. PF2 1-2 PF I I PF2 cosa =O PF I+IPF2 D-2 PF I I PF2 I(1+ cosa) 2 PF PF, (1+ cos a)=4a-4c=4b 」PF1‖PF2F= 1+cosa △PFF面积=PF||PF2|sna 2b2 b sin a =b2 21+cosa 1+ cosa
—2— ∵ | | | | 2 2 2 PF1 PF2 c a c a c e + = = = 由正弦定理，得|PF1|=2Rsinβ,|PF2|=2Rsinα，|F1F2|=2Rsin(α+β) 2 cos 2 cos 2 cos 2 2sin 2 cos 2 2sin sin sin sin( ) 2 (sin sin ) 2 sin( ) | | | | 2 1 2 − + = − + + + = + + = + + = + = R R PF PF c e 例 4 P 是椭圆 1 2 2 2 2 + = b y a x （a＞b＞0）上的任意一点，F1、F2 是焦点，半短轴为 b,且∠F1PF2=α. 求证：△PF1F2 的面积为 . 2 tg 2 b 证明 由椭圆的定义知|PF1|+|PF2|=2a，又|F1F2|=2c. 在△PF1F2 中，由余弦定理，得 . 2 tg 1 cos sin sin 1 cos 2 2 1 | | | | sin 2 1 . 1 cos 2 | || | 2 | || | (1 cos ) 4 4 4 (| | | |) 2 | | | | (1 cos ) (| | | |) 2 | | | | 2 | | | | cos (2 ) | | | | 2 | | | | cos | | | | | | 2 | | | | cos 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 b b b PF F PF PF b PF PF PF PF a c b PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF c PF PF PF PF F F PF PF PF PF = + = + = = + = + = − = = + − + = + − − = + − = + − 面积