第七讲泰勒( taylor)级数 罗朗( Lauren)级数
第七讲 泰勒(Taylor)级数 罗朗(Laurent)级数
§4.3泰勒( Taylor)级数 口1.泰勒展开定理 口2.展开式的唯一性 口3.简单初等函数的泰勒展开式 K
1. 泰勒展开定理 2. 展开式的唯一性 3. 简单初等函数的泰勒展开式 §4.3 泰勒(Taylor)级数
1.秦勒( Taylor)展开定理 由§4.2幂级数的性质知:一个幂级数的和函数在 它的收敛圆内部是一个解析函数。 现在研究与此相反的问题: 个解析函数能否用幂级数表达? (或者说,个解析函数能否展开成幂级数?解析函 数在解析点能否用幂级数表示?) 以下定理给出了肯定回答: 任何解析函数都一定能用幂级数表示
1. 泰勒(Taylor)展开定理 现在研究与此相反的问题： 一个解析函数能否用幂级数表达? (或者说,一个解析函数能否展开成幂级数? 解析函 数在解析点能否用幂级数表示？） 由§4.2幂级数的性质知:一个幂级数的和函数在 它的收敛圆内部是一个解析函数。 以下定理给出了肯定回答： 任何解析函数都一定能用幂级数表示
定理(泰勒展开定理) 设f(z)在区域D内解析,z∈D,R为z0到D的边界 上各点的最短距离>当z-z0<R时, f(x)=∑cn(z-x)y()()在=处 H=0 的 Taylor级数 其中:Cn=-,f(n(x)n=0,1,2 D 分析:Cn=,f(z) I f(s) 5 2ri Jk +1 0 代入(1)得
定理（泰勒展开定理） ( ) 0,1,2, ! 1 : ( ) ( ) (1) , ( ) , , 0 ( ) 0 0 0 0 0 = = = − − = f z n n c f z c z z z z R f z D z D R z D n n n n n 其 中 上各点的最短距离 当 时 设 在区域 内解析 为 到 的边界 的 级数 在 处 Taylor f z z0 ( ) D k 0 z ( ) k z r d z f i f z n c k n n n − = − = = + 0 1 0 0 ( ) : ( ) 2 1 ( ) ! 1 分析： 代入(1)得
∑c(z-a)=∑ f"(z0 f(5)1 Z-2 nik(s -zo) 0 f∫(4) 2T ∑m1(-n)11) 又f()1rf(5) d2) nioka 比较),(=6(x-动) ∫(5)
D k 0 z ( ) (*) ( ) ( ) ( ) 1),2) 0 0 1 0 n n n z z z f z f − − = − = + 比 较 有 ， 2) ( ) 2 1 ( ) − = k d z f i f z 又 ( ) 1) ( ) ( ) 2 1 ( ) ( ) ( ) 2 1 ( ) ! ( ) ( ) 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 ( ) 0 0 − − = − − = − = − = + = + + = = k n n n n n k n n n n n n n z z d z f i d z z z f i z z n f z c z z z
9< 注意到 Z-Z 0 0 1+ -如0,x3-0 )+…+(-)"+…(2) 改()_f(5)(z-x)” z0(5-z0) f(9) ∑ H=0 (-zn)y+(2=n)”-(得证!
1 ( ) ( ) (2) 1 1 0 2 0 0 0 0 0 0 + − − + + − − + − − + − = − n z z z z z z z z z z z , 1 1 1 ( ) 1 1 0 0 0 0 0 z z z z z z z z − − − − = − − − = − 注意到 1, 0 0 = − − q z z z = − − − = − 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) n n n z z z z f z f 故 n ---(*)得证！ n n z z z f ( ) ( ) ( ) 0 0 1 0 − − = = +
证明设k:-z0=r,{-z≤r}cD, (不讲) z为k内任一点由Cch积分公式: f(z)= 1 ff(s) 2 i Jk5 /~<, 5-z 0 01 z-2 0 1+ 0 )"+…(3)
证明 (不讲) − = − = − k d z f i f z z k Cauchy k z r z r D ( ) 2 1 ( ) , : : ,{ } , 0 0 为 内任一点由 积分公式 设 1, 0 0 = − − q z z z 0 0 0 0 0 1 1 1 ( ) 1 1 z z z z z z z z − − − − = − − − = − ( ) ] (3) [1 ( ) 1 0 0 2 0 0 0 0 0 + − − + + − − + − − + − = n z z z z z z z z z z
不讲)两端乘以),沿着逐项积分得 2ru f()= 1rf(5) f() 2ri Jks -z 2ni 0 Z-2 f() 十 2mk(5-a)2 0 (z-x0) f(2)d 十 2mk(g-z)"+ f(x0)+f"(z0)+…+ 0 (Z-Z 0) 函数f(z)在处的ralo级数
函 数 在 处 的 级 数 两端乘以 沿 着 逐项积分得 f z z Talor z z n f z f z f z d z f i z z d z f i z z d z f i d z f i f z k i f n n k n n k k k 0 0 0 ( ) 0 0 1 0 0 2 0 0 0 ( ) ( ) (4) ! ( ) ( ) '( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) 2 ( ) 2 ( ) 1 2 1 ( ) , , 2 ( ) − − = + + + − + + − − + + − − + − = − = + (不讲)
级数(4)的收敛范围是以为中心,r为半径 的圆域5-z<r,圆k的半径可以任意增大 只要圆及其内部包含在内即可,∫(z)在 解析点处的Tgor级数收敛半径至少等于 从z到D的边界上各点的最短鹏离证毕 证明 (不讲)
. ! , ( ) , , (4) 0 0 0 0 从 到 的边界上各点的最短距离 证 毕 解析点 处 的 级数收敛半径至少等于 只要圆 及其内部包含在 内即可 在 的圆域 圆 的半径 可以任意增大 级 数 的收敛范围是以 为中心， 为半径 z D z Taylor k D f z z r k r z r − 证明 (不讲)
1)若f(x)有奇点,那么f(x)在解析点 z的rao展开式的收敛半等于从z到 f(z)的最近的一个奇点之间的距离即, R=zo-al (2)a在收敛圆上这是因为(z)在收敛 圆内解析所以奇点a不可能在收敛圆内 又:奇点a不可能在收敛圆外不然的话, 收敛半径还可以扩大,因此,奇点a只能在 收敛圆周上
收敛圆周上. 收敛半径还可以扩 只能在 又 奇 点 不可能在收敛圆外,不然的话, 圆内解析 所以奇点 不可能在收敛圆内. 在收敛圆上,这是因为 在收敛 大 ,因此,奇 点 , (2) f (z) = 0 − 0 0 ( ) , ( ) ( ) R z f z z Talor R z f z f z 的最近的一个奇点 之间的距离,即 的 展开式的收敛半径 等于从 到 (1) 若 有奇点, 那 么 在解析点