王第七章参数估计 在实际问题中,经常遇到随机变量ⅹ(即总体Ⅹ) 的分布函数的形式已知,但它的一个或者多个参数未 王知的情形,此时写不出确切的概率密度函数若通过简 单随机抽样,得到总体X的一个样本观测值 (x1,x2…xn),我们自然会想到利用这一组数据来估计 王这一个或多个未知参数诸如此类,利用样本去估计总 中体未知参数的问题,称为参数估计问题参数估计问题 牛有两类,分别是点估计和区间估计 上页
第七章 参数估计 在实际问题中，经常遇到随机变量 X（即总体 X） 的分布函数的形式已知，但它的一个或者多个参数未 知的情形，此时写不出确切的概率密度函数.若通过简 单 随 机 抽 样 ， 得 到 总 体 X 的 一 个 样 本 观 测 值 ( , , , ) 1 2 n x x x ，我们自然会想到利用这一组数据来估计 这一个或多个未知参数.诸如此类，利用样本去估计总 体未知参数的问题，称为参数估计问题.参数估计问题 有两类，分别是点估计和区间估计
王参数估计的基本思想 Ⅹ~P(),X~E(),X~N(,o2) 王用所获得的样本值去估计参数取值称为参数估计 庄参点估计用某一数值作为 参数的近似值 数估 在要求的精度范围内 王计区间估计1指出参数所在的区间 上页
X~P(λ),X~E(λ),X~N(μ,σ2 ) 用所获得的样本值去估计参数取值称为参数估计. 参 数 估 计 点估计 区间估计 用某一数值作为 参数的近似值 在要求的精度范围内 指出参数所在的区间 参数估计的基本思想
§1参数的点估计 设总体X的分布函数F(x:0)形式已知,其中0 王是待估计的参数,点估计间题就是利用样本 (X,X2…Xn),构造一个统计量b=0(X,X2…,X)来估 庄计0,我们称xx为0的点借计量,它是 王一个随机变量。将样本观测值(…x)代入估计 量x,x2…X),就得到它的一个具体数值 牛x“x,这个数值称为0的点估计值 上页
§1 参数的点估计 设总体 X 的分布函数 F(x; ) 形式已知，其中θ 是待估计的参数，点估计问题就是利用样本 ( , , , ) X1 X2 Xn ，构造一个统计量 ( , , , ) ˆ ˆ = X1 X2 Xn 来 估 计θ，我们称 ( , , , ) ˆ X1 X2 Xn 为θ的点估计量，它是 一个随机变量。将样本观测值( , , , ) 1 2 n x x x 代入估计 量 ( , , , ) ˆ X1 X2 Xn ， 就 得 到 它 的 一 个 具 体 数 值 ( , , , ) ˆ 1 2 n x x x ，这个数值称为θ的点估计值
§11矩估计法 出·设(X1X2xxn)是来自总体X的一个样本根据大 数定律对任意E>0有 Im PXE(X2E=0 n→)00 并且对于任何k只要EX)存在同样有 imP∑x-E(x)e}=0,k=1 n→0 因此很自然地想到用样本矩来代替总体矩从而得 到总体分布中参数的一种估计 上页
§1.1 矩估计法 • 设(X1 ,X2 ,…,Xn)是来自总体X的一个样本,根据大 数定律,对任意ε>0,有 lim {| − ( )| }= 0 → P X E X n 并且对于任何k,只要E(Xk)存在,同样有 ( )| } 0, 1,2,... 1 lim {| 1 − = = = → X E X k n P k n i n i n 因此,很自然地想到用样本矩来代替总体矩,从而得 到总体分布中参数的一种估计
定义:用样本矩来代替总体矩从而得到总体分 c布中参数的一种估计这种估计方法称为矩法估计. 它的思想实质是用样本的经验分布和样本矩去替 c换总体的分布和总体矩今后称之为替换原则 设总体x具有已知类型的概率函数p(x:616), (61…,)6)∈Q是k个未知参数(X1,X2Xn是来自 c总体X的一个样本假着X的k阶矩Y=EX存在则 王对于s,E都存在并且是(1,0的函数 c(61…,l) 上页
• 定义：用样本矩来代替总体矩,从而得到总体分 布中参数的一种估计.这种估计方法称为矩法估计. 它的思想实质是用样本的经验分布和样本矩去替 换总体的分布和总体矩.今后称之为替换原则. • 设总体X具有已知类型的概率函数p(x;θ1 ,…,θk ), (θ1 ,…,θk )∈Θ是k个未知参数.(X1 ,X2 ,…,Xn)是来自 总体X的一个样本.假若X的k阶矩γk=E(Xk)存在,则 对于i≤k, E(Xi )都存在,并且是(θ1 ,…,θk )的函数γi (θ1 ,…,θk )
E(X)=v(1,62,…,0k)=A E(X2)= 设 20015025…0k )=A2 E(X)=vk(,22,…,k) 得到含有未知参数(1…,)的k个方程解这k个 联立方程组就可以得到(1…))的一组解 01=0(X1,2,xn 02=02(X1,X2,…,Xn) 0k=0(X12X2…,Xxn) 用上面的解来估计参数就是矩法估计 上页
得到含有未知参数(θ1 ,…,θk )的k个方程.解这k个 联立方程组就可以得到(θ1 ,…,θk )的一组解: = = = ( , ,..., ) ˆ ˆ ................................... ( , ,..., ) ˆ ˆ ( , ,..., ) ˆ ˆ 1 2 2 2 1 2 1 1 1 2 k k n n n X X X X X X X X X 用上面的解来估计参数θi就是矩法估计. = = = = = = k k k k k k E X A E X A E X A ( ) ( , ,..., ) ............................... ( ) ( , ,..., ) ( ) ( , ,..., ) 1 2 2 1 2 2 2 1 1 2 1 设
王 王例:设总体x服从泊松分布x),参数入未知, 上(x,x2…x)是来自总体的一个样本,求参数入的矩 估计量 解总体X的期望为E(X)= 从而得到方程=∑X 所以λ的矩估计量为 A=∑M1=X 上页
例: 设总体 X 服从泊松分布 () ，参数λ未知， ( , , , ) X1 X2 Xn 是来自总体的一个样本，求参数λ的矩 估计量. 解 总体X的期望为 E(X ) = 从而得到方程 = = n i Xi n 1 1 所以λ的矩估计量为 X X n n i = i = =1 1 ˆ
王 王例:设总体x服从参数为入的指数分布,其中参 上数λ未知,(x,X2…X)是来自总体的一个样本, 求参数入的矩估计量 n e 2x x>0 解其概率密度函数为f(x,)= 0,x≤0 总体X的期望为E(x)=「 xhe rdx 从而得到方程=x n 所以的矩估计量为2=11 ∑X 上页
例: 设总体 X 服从参数为λ的指数分布，其中参 数λ未知，( , , , ) X1 X2 Xn 是来自总体的一个样本， 求参数λ的矩估计量. = − 0, 0 , 0 ( , ) x e x f x x 解 其概率密度函数为 总体X的期望为 1 ( ) 0 = = + − E X x e dx x 从而得到方程 = = n i Xi n 1 1 1 X X n i i 1 1 ˆ 1 = = = 所以 λ的矩估计量为
例:设总体X的均值u和方差a2都存在,且a2>0, 但μ和σ2均未知,又设(X1,X2…Xn)是来自总体的 中一个样本,求山和σ2的矩估计量 中解由于 E(X)= E(x2)=D(X)+(E(X)2=a2+ X 故令 = ∑ X2=a2+ A群得和σ的矩估计量分别为 u=X 0-n2X-Xn2(x-X 上页
例: 设总体 X 的均值μ和方差 2 都存在，且 0 2 ， 但μ和 2 均未知，又设( , , , ) X1 X2 Xn 是来自总体的 一个样本，求μ和 2 的矩估计量. 解 由于 ( ) = + = + = 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) E X D X E X E X 故令 = + = = 2 2 1 1 2 n i Xi n X 解得μ和 2 的矩估计量分别为 = − = − = = = n i i n i i X X n X X n X 1 2 2 1 2 2 ( ) 1 1 ˆ ˆ
例:设某炸药厂一天中发生着火现象的次数X服从 参数为λ的泊松分布,λ未知,有以下样本值; 试估计参数λ(用矩法)。 着火的次数k 0123456 牛发生次着火天数n75052621>=20 中解EX=A=>x=X 王令x=A 黑则元=x=(0×75+1×90+…+6×1)=122 250 所以X=4,估计值x=12 上页
例 : 设某炸药厂一天中发生着火现象的次数X服从 试估计参数 （用矩法）。 参数为 的泊松分布， 未知，有以下样本值； 75 90 54 22 6 2 1 = 250 0 1 2 3 4 5 6 nk k k 发生 次着火天数 着火的次数 = = = = n i Xi X n EX A 1 1 1 (0 75 1 90 6 1) 1.22 250 1 ˆ , = = + + + = = x X 则 令 所以 X = , 估计值 ˆ = 1.22。 解