王第二章随机变量及其分布 王1随机变量的概念与离散型随机变量 §1随机变量的概念 王·为了全面地研究随机试验的结果揭示客观存在 着的统计规律性我们将随机试验的结果与实数 牛对应起来将随机试验的结果数量化,引入随机 中变量的概念 上页
第二章 随机变量及其分布 §1 随机变量的概念与离散型随机变量 §1.1 随机变量的概念 • 为了全面地研究随机试验的结果,揭示客观存在 着的统计规律性,我们将随机试验的结果与实数 对应起来,将随机试验的结果数量化,引入随机 变量的概念
在许多带有随机因素的实际问题中我们往往 只关心某些数据,如电子元件的寿命、车站的候车 人数等等此外人们还发现建立数和人或其他事物 平的对应关系会带来许多便利,比如每一个学生可以 用一个学号与之对应城市的每一间房屋可以用 个门牌号与之对应,工厂生产的同一种型号产品,比 王如计算机可以用一个代码与之对应同样建立数 上和基本事件的对应关系将有助于我们利用现有的 牛一些数学方法对随机现象作进一步的研究 上页
在许多带有随机因素的实际问题中,我们往往 只关心某些数据,如电子元件的寿命、车站的候车 人数等等.此外人们还发现建立数和人或其他事物 的对应关系会带来许多便利,比如每一个学生可以 用一个学号与之对应,城市的每一间房屋可以用一 个门牌号与之对应,工厂生产的同一种型号产品,比 如计算机,可以用一个代码与之对应.同 样,建立数 和基本事件的对应关系将有助于我们利用现有的 一些数学方法对随机现象作进一步的研究
王 定义:设随机试验E的样本空间9={o},如果对任意 的基本事件O∈g2,有一个实数X=X()与之对应,就 王称x为随机变量 通常我们用大写字母X、Y、Z等表示随机变量 引入随机变量后,就可以用随机变量X描述 事件一般对于任意的实数集合Ⅸ表示 事件eX(e)eL 上页
定义:设随机试验 E 的样本空间 = {} ,如果对任意 的基本事件 ,有一个实数 X = X () 与之对应,就 称 X 为随机变量. • 引入随机变量后,就可以用随机变量X描述 事件.一般对于任意的实数集合L,{X ∈L}表示 事件{e|X(e)∈L}. 通常,我们用大写字母X、Y、Z等表示随机变量
上例:设10件产品中有8件合格品和2件不合格品 出从中随机抽取一件令 l,取到合格 X= 0,取到不合格品 中则ⅹ是一个随机变量,它只取两个可能值0和1 如果我们把产品编号1到8号为合格品9到10号为 不合格品样本空间可表示为9={m,…0},其中O,表 示取到第号产品这时基本事件与随机变量的对应 r关系为 X(O1)= ∫1=18 0,i=9,10 上页
例：设 10 件产品中有 8 件合格品和 2 件不合格品, 从中随机抽取一件,令 = ，取到不合格品 ， 取到合格品 0 1 X 则 X 是一个随机变量，它只取两个可能值 0 和 1. 如果我们把产品编号,1 到 8 号为合格品,9 到 10 号为 不合格品,样本空间可表示为 { , , } = 1 10 ,其中 i 表 示取到第i 号产品.这时基本事件与随机变量的对应 关系为 = = = 0, 9,10 1, 1, ,8 ( ) i i X i
牛例:考察一个医院每天的就诊人数x则X是一个随 机变量,它的取值范围是X=0,1,2, 例:观察公交车站上乘客的等车时间XⅩ是一个随机 中变量,它的取值范围是某一个区间 上例:记录中央电视台新闻联播节目的播出时间长度 王x,则x也是一个随机变量,它的取值范围也是 上个区间 上页
例：考察一个医院每天的就诊人数 X,则 X 是一个随 机变量,它的取值范围是 X = 0,1,2, . 例：观察公交车站上乘客的等车时间 X,X 是一个随机 变量,它的取值范围是某一个区间. 例：记录中央电视台新闻联播节目的播出时间长度 X，则 X 也是一个随机变量，它的取值范围也是一 个区间
王§.2离散型随机变量 定义:如果随机变量ⅹ所有可能取的值只有有限 个或可列无限多个(即可以和自然数集 N={2…n}中的元素1-1对应,则称Ⅹ为离散 午型随机变量 工工工 设离散型随机变量ⅹ所有可能取的值为 x1,x2…,X取值为xk的概率为 P(X=xk)=p,k=12, 称为离散型随机变量的概率分布或分布律 上页
§1.2 离散型随机变量 定义：如果随机变量 X 所有可能取的值只有有限 个或可列无限多个 ( 即可以和自然数集 N = {1,2, ,n, }中的元素 1-1 对应),则称 X 为离散 型随机变量. 设 离 散 型 随 机 变 量 X 所 有 可 能 取 的 值 为 x1 , x2 , ,X 取值为 k x 的概率为 k pk P(X = x ) = , k = 1,2, . 称为离散型随机变量X的概率分布或分布律
分布律还可以简单地表示为: 王「Ⅹ X1 X2 k 生P|pP2 pk 王分布律具有以下性质 1.Pk≥0,k=1,2, ∑p= 上页
分布律还可以简单地表示为： 分布律具有以下性质: 1. pk 0, k =1，2， 2. 1 1 = k= pk X x1 x2 … xk … P p1 p2 … pk …
王 王例实验室共有40台同类仪器共中有5台仪器不能 上正常工作某班实验课随机取其中的34台做实验求 取到的不能正常工作的仪器台数X的分布律 解Ⅹ的分布律为 k34-k P(X=k)=535,k=0,1,,5 C 40 上页
例:实验室共有 40 台同类仪器,其中有 5 台仪器不能 正常工作.某班实验课随机取其中的 34 台做实验,求 取到的不能正常工作的仪器台数 X 的分布律. 解 X 的分布律为: ( ) 0 1 5 3 4 4 0 3 4 = = 5 3 5 ， = ，，， − k C C C P X k k k
例:设一汽车在开往目的地的道路上需经过四个信号灯每 个信号灯以/2的概率允许或禁止汽车通过以X表示汽车 首次停下时,它已通过的信号灯数(设各信号灯的工作是相 互独立的),求X的分布律 解以p表示每个信号灯禁止汽车通过的概率,易知X的分 布律为 2 3 4 pp(1-pp(1-p)p(1-p)p(I-p) 或写成P{X=k}=(1p)/pk=0,1,2,3;P{X=4}-(1-p)4 以p=12代入得 X01 23 4 P0.50.250.1250.06250.0625 上页
X 0 1 2 3 4 P p (1-p)p (1-p)2p (1-p)3p (1-p)4 X 0 1 2 3 4 P 0.5 0.25 0.125 0.0625 0.0625 例:设一汽车在开往目的地的道路上需经过四个信号灯,每 个信号灯以1/2的概率允许或禁止汽车通过.以X表示汽车 首次停下时,它已通过的信号灯数(设各信号灯的工作是相 互独立的),求X的分布律. 解 以p表示每个信号灯禁止汽车通过的概率,易知X的分 布律为 • 或写成P{X=k}=(1-p)kp,k=0,1,2,3;P{X=4}=(1-p)4 . • 以p=1/2代入得
王例设随机变量X具有分布律 P(X=k)=ak,k=1,2,3,4,5 (1)确定常数a,(2)计算<x,和PsXs2) 中解(1)由分布律的性质得 ∑P(x=)=∑a=a5x6=1从而a= k=1 工工 (2)P(2X<2)=(X=)+P(X=2)=15+15= 2 P(1Xs2)=P(X=1)+P(X=2)=15+15= 15 55 上页
例: 设随机变量 X 具有分布律 P ( X = k ) = ak, k = 1,2,3,4,5 （1）确定常数a ,（2）计算 ) 25 21 P( X 和P(1 X 2). 解（1）由分布律的性质,得1 2 5 6 ( ) 51 51 = = = = = = P X k ak a k k 151 a = . (2) ) 25 21 P ( X P ( 1 X 2 ) 从而 = P ( X = 1 ) + P ( X = 2 ) 51 152 151 = + = 51 152 151 = P ( X = 1 ) + P ( X = 2 ) = + =