第九讲共形映射 分式线性映射
第九讲 共形映射 分式线性映射
§1共形映射的概念 m1.曲线的切线 口2.导数的几何意义 口3.共映射的概念
1. 曲线的切线 2. 导数的几何意义 3. 共形映射的概念 §1 共形映射的概念
1.曲线的切线 设连续曲线C:z=z(t)t∈|a,B 它的正向取增大时点移动的方向 若z'(t0)≠0,t0∈(a,B),取P,P∈C,P,P对应 的参数分别为,t, 割线p对应于参数增大的 (2)C:z =z(t) 方向 则割线的方向向量D与向量0 z(t0+△)-z(to 方向相同0
C :z = z(t) t [, ] 它的正向取t增大时点z移动的方向. 1. 曲线的切线 . ( ) ( ) 0 0 0 方向相同 则割线的方向向量 与向量 t z t t z t p p + − 的参数分别为 ， 若 取 对 应 t t z t t P P C P P , '( ) 0, ( , ), , , , 0 0 0 0 0 设连续曲线 C : z = z(t) o x y (z) P0 P 方向。 割线p0 p对应于参数t增大的
割线方向p的极限位置: z(to)=lim (t+A+)-z(to) △t→>0 △ 曲线C在处的切向量且方向与正向一致 若z'(t)≠0,to∈(a,B) (2)C:z =z(t) 则曲线C在x有切线z(t) 就是切向量它的倾角 0 o= arg z(to). 0
T C : z = z(t) o x y (z) P0 P 割线方向p0 p的极限位置：t z t t z t z t t + − = → ( ) ( ) '( ) lim 0 0 0 0 . —曲 线C在p0 处的切向量且方向与C正向一致 arg '( ). , , '( ) '( ) 0, ( , ), 0 0 0 0 0 z t C z z t z t t = 就是切向量它的倾角 则曲线 在 有切线 若 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~
定义切线随切点的移动而连续转动的有向曲线 称为有向光滑曲线 (1)4gz(1)-曲线C在点处切线的 正向气轴正方向之间的夹角 (2)若曲线C1与曲线 (z) 1:z=x1(t) C2相交于点x0,在交点处 两曲线正向之间的夹角 就是它们的两条切线E C2:2=z2(t) 向之间的夹角
. (1) '( ) 0 0 正向与 轴 方向之间的夹角 曲 线 点 处切线的 正 在 x Argz t − − C z 定义 切线随切点的移动而连续转动的有向曲线 称为有向光滑曲线. 之间的夹角. 就是它们的两条切线 两曲线正向之间的夹角 交点处 若曲线 向 正 ,在 (2) 2 0 1 C z C 相交于点 与曲线 : C2 ( ) 2 z = z t ( ) 1 :z = z t C1 o x y (z) 0 z ~~~~~~~~~~
2.解析函导数的几何意义(辐角和模) 设w=∫(z)在区域D内解析z∈D,且f(z)≠0, 在D内过z引一条有向光滑曲线 C:z=x(t)t∈[oa,B 取t∈(a,B)=孔(t)z()≠0则 z平面上C:z=x(t)→w平面上:w=|z(t r一过点w=∫(z0),正向取增大方向的曲线
2. 解析函数导数的几何意义(辐角和模) ( ) , , '( ) 0, 设w = f z 在区域D内解析 z0 D 且f z0 : ( ) [ , ] : 0 C z = z t t D z 在 内 过 引一条有向光滑曲线 ( ) . —过 点w0 = f z0 ，正向取t增大方向的曲线 ( , ) ( ) 0 0 0 取t z = z t z'(t 0 ) 0 则 : ( ) : [ ( )] ( ) z C z z t w w f z t w f z = → = = 平面上 平面上 ~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~
v(t)=f"(z0)z'(t0)≠0 Argw (to)= Argf(zo)+ Argz(to) 记 Ep Argf(zo)= Argw'(to)-Argz(o) 即 C:3=(t) r:w=fIz(t) T =∫(z) 0 0 0)9 u
w'( t 0 ) = f '( z 0 ) z'( t 0 ) 0 '( ) '( ) '( ) 0 0 0 Argw t = Argf z + Argz t 记 '( ) '( ) '( ) 0 0 0 即 Argf z = Argw t − Argz t 即 = − (1) C : z = z ( t ) o (z) x y ov ( w ) u : w = f[z(t)] w= f (z) → T ' T 0 z w0
若视轴与轴和轴与v轴的正向相同 称曲线C的切线正向与映射后围正向之 间的夹角为原曲线C经映射=f(z)在点 z的转动角记作a T 0)9 a=①-φ即Argf"(z0)=Argw(to)-Argz'(t0)
, . ( ( )) , 0 的转动角记 作 间的夹角为原曲线 经映射 在 点 称曲线 的切线正向与映射后曲线 正向之 若 视 轴 与 轴 和 轴 与 轴的正向相同 z C w f z C x u y v = ~~~~~~~ '( ) '( ) '( ) 0 0 0 = − 即Argf z = Argw t − Argz t T ' u x T 0 z w0
1)导数幅解rgf(的几何意义 ①Argf'(zo)(f"(x)≠0)是曲线C经过w=f(z) 映射后在点的转动角 由(1)式a仅与映射n=f(z)及点有关,则 ②转动角c的大小及方向与曲线的形状 与方向无关这种性质称为映射具转 动角的不变性
由(1)式仅与映射w = f (z)及 点z0 有 关,则 (1)导数幅角Argf'(z)的几何意义 . '( )( '( ) 0) ( ) 0 0 0 映射后在点 的转动角 ① 是曲线 经 过 z Argf z f z C w = f z ~~~~~~~~~ . , 动角的不变性 与方向无关这种性质称为映射具有转 ② 转动角的大小及方向与曲线C的形状 ~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~
设C(=1,2)在点z的夹角为6,C;(i=1,2) 在变换w=f(z)下映射为相交于点v=f(z0) 的曲线r(i=1,2),r1,r2的夹角为 6=-1 W=∫(z) 由式1)有,a=①1-2(=1,2) ①1=q2-91 ⊙=6—保角性
2 ( 1,2), , . ( ) ( ) ( 1,2) , ( 1,2) 1 2 0 0 0 = = = = = 的曲线 的夹角为 在变换 下映射为相交于点 设 在 点 的夹角为 i w f z w f z C i z C i i i i o x y (z) C1 C2 1 0 z w= f (z) → = 2 −1 2 1 1 2 o v u (w) w0 2 1 2 1 (1) ( 1,2) − = − 由 式 有 ， = i − i i = = ——保角性 =2 −1