王第三章多维随机变量及其分布 牛在实际问题中,一个随机试验往往用几个随机变 量整体地讨论其结果.如射击时考虑子弹在靶标 王上的位置我们用定义在同一个样本空间上的 两个随机变量ⅹ和Y分别表示子弹在靶标上的横 工工工 坐标与纵坐标,则子弹在靶标上的位置可用二维 上随机变量或二维随机向量(X,Y)表示 上页
第三章 多维随机变量及其分布 在实际问题中,一个随机试验往往用几个随机变 量整体地讨论其结果.如射击时考虑子弹在靶标 上的位置,我们用定义在同一个样本空间Ω上 的 两个随机变量 X 和 Y 分别表示子弹在靶标上的横 坐标与纵坐标,则子弹在靶标上的位置可用二维 随机变量或二维随机向量（X，Y）表示
一般地设随机试验E的样本空间为g={o},x=X(o) 和Y=Y(o)分别是定义在同一个样本空间9上的随 机变量我们称向量(X,Y)为二维随机变量或 维随机向量.类似地可定义三维随机变量以及任意 有限维随机变量我们把二维及二维以上的随机变 王量称为多维随机变量木章主要讨论二维随机变量 其结果只要形式上加以处理可以推广到三维或三 工工 维以上的随机变量. 上页
一般地,设随机试验 E 的样本空间为 = { } , X X = ( ) 和Y Y = ( ) 分别是定义在同一个样本空间Ω上的随 机变量,我们称向量（X，Y）为二维随机变量或二 维随机向量.类似地可定义三维随机变量以及任意 有限维随机变量.我们把二维及二维以上的随机变 量称为多维随机变量.本章主要讨论二维随机变量, 其结果只要形式上加以处理,可以推广到三维或三 维以上的随机变量
§1二维离散型随机变量 §11二维离散型随机变量及联合分布律 定义:如果二维随机变量(X,Y)的可能取值是有 限组或可列无限组(x,y)j=12,…,则称(X,Y)为二 维离散型随机变量,将(X,Y)取每组值的概率 P(X=x,Y=y)=P,2j=1,2,… 牛称为二维离散型随机变量(xY的联合分布律 记号(X=x,=y)表示随机事件(X=x)与(Y=y)的 积事件,即(X=x,Y=y)=(X=x)∩(Y=y) 上页
§1 二维离散型随机变量 定义：如果二维随机变量（X，Y）的可能取值是有 限组或可列无限组( , ), , 1,2, i j x y i j = ,则称（X，Y）为二 维离散型随机变量,将（X，Y）取每组值的概率 ( , ) , , 1,2, P X x Y y p i j = = = = i j ij 称为二维离散型随机变量（X，Y）的联合分布律. §1.1 二维离散型随机变量及联合分布律 记号( , ) X x Y y = = i j 表示随机事件( ) X x = i 与( ) Y y = j 的 积事件,即 ( , ) ( ) ( ) X x Y y X x Y y = = = = = i j i j
二维离散型随机向量(X,Y)的分布律表 Y y X Pil PI P1 P22 P Pi2 上页
二维离散型随机向量(X,Y)的分布律表 Y X 1 y 2 y j y 1 x 11 p 12 p 1 j p 2 x 21 p 22 p 2 j p i x i1 p i2 p ij p
王例:袋中有2个黑球3个白球从袋中随机取两次 每次取一个球取后不放回令 X ∫1第一次取到黑球 第二次取到黑球 ˉo第一次取到自球 Y 第二次取到白球 求(XY)的联合分布律 上解XY的可能取值为0.0(10)(1 则(Y)的联合分布律为 Ⅹ 0 1 P(X=0,y=0)3×2 工工 5×420 06/206/20 P(X=0,y=1)= 3×26 5×420 16/202/20 上页
例: 袋中有 2 个黑球 3 个白球,从袋中随机取两次, 每次取一个球,取后不放回.令 1 1 , , 0 0 X Y = = 第一次取到黑球 第二次取到黑球 第一次取到白球 第二次取到白球 求(X,Y)的联合分布律. 解 (X,Y)的可能取值为(0,0),(0,1),(1,0),(1,1), 则(X,Y)的联合分布律为 3 2 6 ( 0, 0) 5 4 20 P X Y = = = = X Y 0 1 0 6/20 6/20 1 6/20 2/20 3 2 6 ( 0, 1) 5 4 20 P X Y = = = =
§12二维离散型随机变量联合分布律的性质 性质10≤Pn≤1 证因为0≤P(X=x1,Y=y)≤1,所以0sP≤1 上性质2∑∑P1=1 J 工工 证∑∑2=∑∑P(x=x,Y=y)=P(9)=1 i=1j=1 上页
§1.2二维离散型随机变量联合分布律的性质 性质1 0 1 ij p 0 ( , ) 1 = = P X x Y y i j 0 1 ij 证 因为 p ,所以 性质2 1 1 1 ij i j p + + = = = 1 1 1 1 ( , ) ( ) 1 ij i j i j i j p P X x Y y P + + + + = = = = 证 = = = = =
性质3联合分布律完全反映了(X,Y)的概率 上性质:设G是一平面区域则 P(X,Y)∈G=∑P (x,y)∈G 王即随机点(X,Y落在区域G上的概率是(x Y)在G上取值所对应的概率之和 牛证P(X,)EG)=P(U(x≤,y≤) xsx,y ∑P(x≤x,ysy)=∑ (x,y)∈ (xy)∈G 上页
性质 3 联合分布律完全反映了（X，Y）的概率 性质:设 G 是一平面区域,则 ( , ) (( , ) ) i j ij x y G P X Y G p = 即随机点（X，Y）落在区域 G 上的概率是（X， Y）在 G 上取值所对应的概率之和. 证 , (( , ) ) ( ( , )) i j i j x x y y P X Y G P x x y y = ( , ) ( , ) ( , ) i j i j i j ij x y G x y G P x x y y p = =
例:令随机变量X表示在1,34中等可能地取 一个值令随机变量Y表示在1~X中等可能地取 个值求(X,Y)的联合分布律及PCXs3y2 解PX=1,￥)=PXP X=i}=(1/4)(l/i) i≥j),于是(x,y的分布律为 3 4 1/8 1/1 116 2 00 1/8 1/12 1/16 工工 0 l/12 1/16 4 0 0 /16 P(X≤3Y≤2)=+0+Q+Q+1+ 12123 上页
Y X 1 2 3 4 1 1/4 1/8 1/12 1/16 2 0 1/8 1/12 1/16 3 0 0 1/12 1/16 4 0 0 0 1/16 解 P{X=i,Y=j}=P{X=i}P{Y=j|X=i}=(1/4)(1/i) (i≥j),于是(X,Y)的分布律为 例：令随机变量 X 表示在 1,2,3,4 中等可能地取 一个值,令随机变量 Y 表示在 1~X 中等可能地取 一个值.求（X，Y）的联合分布律及 P X Y ( 3, 2) . P X Y ( 3, 2) 1 1 1 1 1 2 0 4 8 8 12 12 3 = + + + + + =
王82二维连续性随机变量 §21二维随机变量的联合分布函数 定义:设(X,Y)为二维随机变量,对任意实数x,y,二 元函数 F(x,y)=P(X≤x,Y≤y) 称为二维随机变量(X,Y的联合分布函数 工工工 如果把(xy)看成是平面上随机点的坐标,则联合分布函数 中”在点x)处的函数值就是随机点xY落在平面上的 矩形区域G={(X,Y)-<X≤x,-∞<Y≤y}的概率 上页
§2 二维连续性随机变量 定 义: 设(X,Y)为二维随机变量,对任意实数 x,y,二 元函数 F x y P X x Y y ( , ) ( , ) = 称为二维随机变量(X,Y)的联合分布函数. §2.1二维随机变量的联合分布函数 如果把(x,y)看成是平面上随机点的坐标,则联合分布函数 F x y ( , ) 在点(x,y)处的函数值就是随机点(X,Y)落在平面上的 矩形区域G X Y X x Y y = − − {( , ) | , }的概率
·设二维离散型随机变量X和Y具有分布律 PX=x1,Y=y=Di,(i,j=1,2,…),则二维 离散型随机变量(X,Y)的联合分布函数为 F(x,y)=P(Xsx,y≤y)=∑∑P x≤x 其中和式是对一切满足x≤x,y;≤y的来求 和的 上页
( , ) ( , ) i j ij x x y y F x y P X x Y y p = = • 设二维离散型随机变量X和Y具有分布律 P{X= xi,Y= yj}=pij ,(i,j=1,2,...)，则二维 离散型随机变量(X,Y)的联合分布函数为 其中和式是对一切满足xi≤x,yj≤y的来求 和的