第四讲复变函数的积分
第四讲 复变函数的积分
第三章复变函数的积分 m§3.1复变函数积分的概念 m§3.2柯西一古萨基本定理 m§3.3基本定理的推广 口§3.4原函数与不定积分 m§3.5柯西积分公式 m§3.6解析函数的高阶导数 m§3.7解析函数与调和函数的关系
§3.1 复变函数积分的概念 §3.2 柯西-古萨基本定理 §3.3 基本定理的推广 §3.4 原函数与不定积分 §3.5 柯西积分公式 §3.6 解析函数的高阶导数 §3.7 解析函数与调和函数的关系 第三章 复变函数的积分
§31复变函数积分的概念 口1.有向曲线 口2.积分的定义 口3.积分存在的件及其针算法 口4.积分性质
1. 有向曲线 2. 积分的定义 3. 积分存在的条件及其计算法 4. 积分性质 §3.1 复变函数积分的概念
1.有向曲线 设 (≤tsB) y=y(t) x'(t)、y(t)∈Cla,l,且[x'(t)2+y()2≠0 C:x(t)=x(t)+i(t)(a≤t≤B)(1) z'(t)连续且z'(t)≠0 C--z平面上的一条光滑曲线 约定:C-光滑或分段光滑曲线因而可求长
1. 有向曲线 '( ) '( ) [ , ], [ '( )] [ '( )] 0 ( ) ( ) ( ) : 2 2 + = = x t y t C x t y t t y y t x x t C 、 且 设 C : z(t) = x(t) + i y(t) ( t ) (1) z'(t)连续且z'(t) 0 C − −z平面上的一条光滑曲线. 约 定:C −光滑或分段光滑曲线(因而可求长)
C的方向规定: 开曲线:指定起点n,终点b,若a→b为正, 则b→m为负记作C; 闭曲线:正方向一观察者顺此方向沿前进 周,C的内部一直在观察者边。 B(终点 A起点
一 周 的内部一直在观察者的左边。 闭曲线 正方向 观察者顺此方向沿 前 进 C C , : − − C的方向规定: A(起点) C B(终点) C C , ; : , , , → −→ b a C a b a b 则 为 负 记 作 开曲线 指定起点 终 点 若 为 正
2.积分的定义 定义设()w=f(z)z∈D n-1 k B (2)C为区域D内点A→点Bxy2△ k 的一条光滑有向曲线 (3)将AB任意分划成n个 小弧段:A=,1,…,n=B0A D (4)V5k∈xk-1zk作乘积(k)△k (5作和式Sn=∑f(4k)Ak k °k-19 记△S为x-1的长度δ=max{△Sk} l≤k≤n
2. 积分的定义 A z z z B AB n : = , , , n = (3) 小弧段 0 1 将 任意分划成 个 ⌒ k k k k k z z f z − (4) ( ) 1 作乘积 ⌒ , , max{ } (5) ( ) 1 1 1 1 k k n k k k k k k n k n k k z z z S z z S S f z = − = = − − = 记 为 的长度 作和式 ⌒ 定义 设(1)w = f (z) z D . (2) 的一条光滑有向曲线 C为区域D内 点A → 点B A D B x y o 1 1 z k−1 z k k z n−1 z k z
若mim∑f(4k)△zk=(2)则称为(z)沿曲线 )k=1 C从(A→B)的积分, 无论如何分割,5;如何取 记作[( ie,「f(ntx=im∑f(5k)41x--(3) k=1 分割→取乘积→求和→取极限 (若闭曲线C记作f(x) b (C:t∈l,b,f(x)=m(,则f(ank=ut
lim ( ) (2) ( ) 1 0 f z I n k k k n = → = → 若 无论如何分割C, i 如何取 → C f z dz C A B f z ( ) ( ) , ( ) 记 作 从 的积分 则 称 为 沿曲线 . ., ( ) lim ( ) (3) 1 = − − = → n k k k C n i e f z dz f z C (1)若闭曲线C 记 作 f (z)dz = = b C a (2)C :t [a,b], f (z) u(t), 则 f (z)dz u(t)dt 分 割→ 取乘积→ 求 和→ 取极限
(3如果()存在一般不能写成”/(a) 因为f(x)不仅与a,b有关还与曲线C的形状 和方向有关。 特例(1)若C表示连接点,的任一曲线则 b dz=b-a dz 2 (2)若C表示闭曲线则「d=0,[az=0
2 (1) , , 2 2 b a dz b a zdz C a b C C − = − = 特例： 若 表示连接点 的任一曲线则 (2) , = 0, = 0 C C 若C表示闭曲线则 dz zdz 和 关 。 因 为 不 仅 还 的形状 如 果 存 在 一般不能写成 方向有 与 有关, 与曲线 , . f z dz a b C f z dz f z dz C b C a ( ) , (3) ( ) ( )
3.积分存在的条件及其针算法 定理当f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在光滑曲线C 上连续时,f(z必沿C可积即∫(x存在 C 且[=++d 记忆 (u+iv)(dx tidy) C 这个定理表明f()可通过二个二元 C 实变函数的第二型曲线积分来计算
3. 积分存在的条件及其计算法 = + C f z C f z dz f z u x y i v x y C , ( ) , ( ) . ( ) ( , ) ( , ) 上连续时 必 沿 可 积 即 存 在 定理 当 在光滑曲线 ( ) (4) = − + + C C C 且 f z dz udx vdy i vdx udy . ( ) 实变函数的 积分来计算 这个定理表明 可通过二个二元 第二型曲线 C f z dz = + + C (u iv)(dx idy) 记 忆
证明令zk=x4+i△x=xk-x21Ay=y-yk1 k t+iu(们k)=h以(,n1)=v k n S=∑f(4)Ak=∑(ak+ik)△xk+边yk) k=1 ∑m(5,m)=∑ v(,、D当δ→Q时,均是 =1 =1 实函数的曲线积分 +2(5k,k)Axk+∑(5k,m)(5) =1 imSn=im∑f(k)△x=((x,y)-「v(x,p)y) n→ +i(v(x,y)dx+u(x, y)dy )=f(zdz
k k k k k k k k k k k k k k k k k k i u u v v z x i y x x x y y y = + = = = + = − − = − − ( , ) ( , ) 1 1 令 [ ( , ) ( , ) ] (5) ( , ) ( , ) 1 1 1 1 = = = = + + = − n k k k k n k k k k n k k k k n k k k k i v x u y u x v y = = = = + + n k k k k k n k n k k S f z u i v x i y 1 1 ( ) ( )( ) + + = = = − = → → C C C C C n k k k n n n i v x y dx u x y dy f z dz S f z u x y dx v x y dy ( ( , ) ( , ) ) ( ) lim lim ( ) ( ( , ) ( , ) ) 1 证明 . 0 实函数的曲线积分 当 → 时，均是