●教学目标 1.明确理解直线l到l2的角及两直线夹角的定义 2.掌握直线l到l2的角及两直线夹角的计算公式 3能根据直线方程求直线l到l2的角及两直线夹角 ●教学重点 两条直线的夹角 ●教学难点 夹角概念的理解 ●教学方法 学导式 ●教具准备 幻灯片 ●教学过程 Ⅰ.复习回顾 师:上一节课,我们一起研究了两条直线的平行与垂直问题,得出了两直线平行与垂直的充要条件,这 节,我们继续研究两直线相交而形成角的问题 Ⅱ.讲授新课: 1.直线l到l2的角 两条直线l和l2相交构成四个角,它们是两对对顶角,我们把直线l按 逆时针方向旋转到与l2重合时所转的角,叫做l1到l2的角 62 在图7-13中,直线l到l2的角是B,h2到1的角是 1.直线l到l2的夹角 如图7-13,l1到l2的角是,l2到l的角是x-B,当h与l2相交但不垂直时,和x-0仅有一个 角是锐角,我们把其中的锐角叫两条直线的夹角 z 当直线l1⊥l2时,直线h和的夹角是 说明:01>0,02>0,且01+2= 2.直线l到的角的公式: tanb-k2-k 1+k2k1 推导:设直线l到l的角0,l1:y=k1x+b,l2:y=k2x+b2 如果1+kk2=0,即kk2=-1,则6 如果1+kk2≠0,设l、h的倾斜角分别是a1和a2,则 tan a1=k1,tana2=k2
●教学目标 1.明确理解直线 1 l 到 2 l 的角及两直线夹角的定义; 2.掌握直线 1 l 到 2 l 的角及两直线夹角的计算公式; 3.能根据直线方程求直线 1 l 到 2 l 的角及两直线夹角. ●教学重点 两条直线的夹角 ●教学难点 夹角概念的理解 ●教学方法 学导式 ●教具准备 幻灯片 ●教学过程 Ⅰ.复习回顾 师:上一节课,我们一起研究了两条直线的平行与垂直问题,得出了两直线平行与垂直的充要条件,这 一节,我们继续研究两直线相交而形成角的问题. Ⅱ.讲授新课: 1.直线 1 l 到 2 l 的角 两条直线 1 l 和 2 l 相交构成四个角,它们是两对对顶角,我们把直线 1 l 按 逆时针方向旋转到与 2 l 重合时所转的角,叫做 1 l 到 2 l 的角. 在图 7—13 中,直线 1 l 到 2 l 的角是θ1, l2 到 1 l 的角是θ2. 1. 直线 1 l 到 2 l 的夹角: 如图 7—13, 1 l 到 2 l 的角是θ1, 2 l 到 1 l 的角是π-θ1,当 1 l 与 2 l 相交但不垂直时,θ和π-θ仅有一个 角是锐角,我们把其中的锐角叫两条直线的夹角. 当直线 1 l ⊥ 2 l 时,直线 l1 和 l2 的夹角是 2 . 说明:θ1＞0,θ2＞0,且θ1+θ2=π 2. 直线 l1 到 l2 的角的公式: 2 1 2 1 1 tan k k k k + − = . 推导:设直线 l1 到 l2 的角θ， 1 1 1 2 2 2 l : y = k x + b ,l : y = k x + b . 如果 . 2 1 0, 1, 1 2 1 2 + k k = 即k k = − 则 = 如果 1+ k1 k2 0,设 l1、l2 的倾斜角分别是α1 和α2，则 1 1 2 2 tan = k ,tan = k
由图(1)和图(2)分别可知O=a2-a1或O=-(ax1-a2)=x+(a2-ax1) tan=tana,) tan=tan[T+(a,-a,]=tan(a,-au) 3.直线4和的夹角公式ma=-6 1+k2k1 这一公式由夹角定义可得 4.例题讲解 3 例5.求直线l1:y=-2x+3,12:y=x-的夹角(用角度制表示) 解:由两条直线的斜率k1 k2-k1_1-(-2) tan a +k1+1×( 3 利用计算器计算或查表可得:a≈71°34 说明:例5是直线应用了两直线夹角公式,要求学生熟练掌握. 例6.等腰三角形一腰所在直线h的方程是x-2y-2=0,底边所在直线L的方程是x+y-1=0, 点(-2,0)在另一腰上(图7-15),求这条腰所在直线l的方程 解:设l,l2,l3的斜率分别为k,k2,k,l1到l2的角是O,l2到l3的角是 则k1=,k2 tan 0.= 1+k2k 因为l,l,b所围成的三角形是等腰三角形,所以B1=0 tan 6.= tan e 1+kk2=-3 将k2=-1代入得大1 =-3,解得k3=2 1-k3 因为l经过点(-2,0),斜率为2,写出其点斜式方程为y=2[x-(-2,得:2x-y+4=0 即直线l3的方程 说明:例6应用了1到l2的角的公式及等腰三角形有关知识,并结合了直线方程的点斜式,要求学生注 意解答的层次 Ⅲ.课堂练习 课本P5练习1,2. ●课堂小结
由图（1）和图（2）分别可知 ( ) ( ) =2 −1或 = − 1 −2 = + 2 −1 tan tan( ) tan tan[ ( )] tan( ) = 2 −1 或 = + 2 −1 = 2 −1 于是. 3. 直线 l1 和 l2 的夹角公式: 2 1 2 1 1 tan k k k k + − = . 这一公式由夹角定义可得. 4. 例题讲解 例 5.求直线 2 3 : 2 3, : l 1 y = − x + l 2 y = x − 的夹角(用角度制表示) 解:由两条直线的斜率 2, 1, k1 = − k2 = 得 3. 1 1 ( 2) 1 ( 2) 1 tan 2 1 2 1 = + − − − = + − = k k k k 利用计算器计算或查表可得: ≈71°34′. 说明:例 5 是直线应用了两直线夹角公式,要求学生熟练掌握. 例 6.等腰三角形一腰所在直线 l1 的方程是 x − 2y − 2 = 0 ,底边所在直线 l2 的方程是 x + y −1 = 0 , 点(-2,0)在另一腰上(图 7—15),求这条腰所在直线 l3 的方程. 解:设 l1,l2, l3 的斜率分别为 k1,k2, k3, l1 到 l2 的角是θ1, l2 到 l3 的角是 θ2,则 , 1. 2 1 k1 = k2 = − 3. 2 1 1 ( 1) 2 1 ( 1) 1 tan 2 1 2 1 1 = − + − − − = + − = k k k k 因 为 l1,l2, l3 所 围 成 的 三 角 形 是 等 腰 三 角 形 , 所 以 θ 1= θ 2, tan tan 3. 2 = 1 = − 即 3. 1 3 2 3 2 = − + − k k k k 将 k2 = −1 代入得 3, 1 1 3 3 = − − + k k 解得 2. k3 = 因为 l3 经过点(-2,0),斜率为 2,写出其点斜式方程为 y = 2[x − (−2)] ,得: 2x − y + 4 = 0 . 即直线 l3 的方程. 说明:例 6 应用了 l1 到 l2 的角的公式及等腰三角形有关知识,并结合了直线方程的点斜式,要求学生注 意解答的层次. Ⅲ.课堂练习 课本 P50 练习 1,2. ●课堂小结
师:通过本节学习,要求大家掌握两直线的夹角公式,并区分与l到2的角的联系与区别,并能利用它 解决一定的平面几何问题. ●课后作业 习题7.35,6,8,9 ●板书设计 §7.3.2…… 到l2的角3.公式例5例6 2.两直线夹角4.公式 学生练习 ●教学后记
师:通过本节学习,要求大家掌握两直线的夹角公式,并区分与 l1 到 l2 的角的联系与区别,并能利用它 解决一定的平面几何问题. ●课后作业 习题 7.3 5,6,8,9. ●板书设计 ●教学后记 §7.3.2…… 1.l1 到 l2 的角 3.公式 例 5 例 6 学 …… …… …… …… 生 2.两直线夹角 4.公式 练 …… …… 习