●教学目标 1.掌握椭圆的定义、方程及标准方程的推导; 2.掌握焦点、焦点位置与方程关系、焦距; 3.了解建立坐标系的选择原则 ●教学重点 椭圆的标准方程及定义 ●教学难点 椭圆标准方程的推导 ●教学方法 学导式 ●教具准备 椭圆演示模板、三角板 ●教学过程 Ⅰ.复习回顾 师:在日常生活中,大家对椭圆己存有一定的认识,并在第七章学习了求解曲线方程的基本方法,为 使大家掌握椭圆的本质特征,这一节,我们开始研究椭圆 Ⅱ.,讲授新课: 1.椭圆定义: 我们把平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫椭圆这两个定 点叫椭圆的焦点,两焦点的距离叫椭圆的焦距 说明:①可用椭圆演示模板向学生展示椭圆图形的画法:②要求学生注意常数要大于|F1F2|的条 件,同时让学生明确常数小于或等于|F1F2|时,轨迹为无轨迹或一条线段 2.椭圆的标准方程 形式 l(a>b>0) 说明:此方程表示的椭圆焦点在x轴上,焦点是F1(-c,0)、F2(c,0),其中c2=a2-b2 形式二:卫,x2 +,2=1(a>b>0) 说明:①此方程表示的椭圆焦点在y轴上,焦点是F1(0,-c),F2(0,c),其中c2=a2-b2 ②两种形式中,总有ab>0; ③两种形式中,椭圆焦点始终在长轴上 ④a、b、c始终满足c2=a2-b ⑤遇到形如Ax2+By2=C,只要A、B、C同号,就是椭圆方程,推导(用幻灯片给出) 如图8-2,建立直角坐标系xOy,使x轴经过点F1、F2,并且O与线段F1F2的中点重合 设M(xy)是椭圆上任意一点,椭圆的焦距为2c(c>0),那么焦点F、F2的坐标分别是(-c,0),(c,0) 又设M与F1和F2的距离的和等于常数2a 由椭圆定义,椭圆就是集合 P={M||MF1|+|MF2|=2a} 因为|MF|=√(x+c)2+y2 IMF2|=(x-c)2+y2
●教学目标 1．掌握椭圆的定义、方程及标准方程的推导； 2．掌握焦点、焦点位置与方程关系、焦距； 3．了解建立坐标系的选择原则. ●教学重点 椭圆的标准方程及定义 ●教学难点 椭圆标准方程的推导 ●教学方法 学导式 ●教具准备 椭圆演示模板、三角板 ●教学过程 Ⅰ.复习回顾： 师：在日常生活中，大家对椭圆已存有一定的认识，并在第七章学习了求解曲线方程的基本方法，为 使大家掌握椭圆的本质特征，这一节，我们开始研究椭圆. Ⅱ.讲授新课： 1．椭圆定义： 我们把平面内与两个定点 F1、F2 的距离的和等于常数（大于∣F1F2∣）的点的轨迹叫椭圆.这两个定 点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫椭圆的焦距. 说明：①可用椭圆演示模板向学生展示椭圆图形的画法；②要求学生注意常数要大于 ∣F1F2∣的条 件，同时让学生明确常数小于或等于∣F1F2∣时，轨迹为无轨迹或一条线段. 2．椭圆的标准方程： 形式一： 1( 0) 2 2 2 2 + = a b b y a x 说明：此方程表示的椭圆焦点在 x 轴上，焦点是 F1（－c，0）、F2（c，0），其中 c 2=a 2－b 2 . 形式二： 1( 0) 2 2 2 2 + = a b b x a y 说明：①此方程表示的椭圆焦点在 y 轴上，焦点是 F1（0，－c），F2（0，c），其中 c 2=a 2－b 2 . ②两种形式中，总有 a>b>0； ③两种形式中，椭圆焦点始终在长轴上； ④a、b、c 始终满足 c 2=a 2－b 2 ； ⑤遇到形如 Ax 2+By2=C，只要 A、B、C 同号，就是椭圆方程，推导（用幻灯片给出）： 如图 8—2，建立直角坐标系 xOy，使 x 轴经过点 F1、F2，并且 O 与线段 F1F2 的中点重合. 设 M（x,y）是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为 2c(c＞0)，那么焦点 F1、F2 的坐标分别是（－c,0），(c,0). 又设 M 与 F1 和 F2 的距离的和等于常数 2a. 由椭圆定义，椭圆就是集合 P=｛M∣∣MF1∣+∣MF2∣=2a｝ 因为∣MF1∣= 2 2 (x + c) + y ∣MF2∣= 2 2 (x − c) + y
所以得:(x+c)2+y2+(x-c)2+y2=2a 整理得:(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2) 由椭圆的定义可知:2a>2c,即a>c,故a2-c2>0 令a2-C2=b2,其中b>0,代入上式整理得 =1(a>b>0) 说明:其中具体整理步骤让学生自得 3.例题讲解: 例1求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)两个焦点的坐标分别是(-4,0),(4,0),椭圆上一点P到两焦点距离之和等于10 (2)两个焦点的坐标分别是(0,-2)、(0,2),并且椭圆经过点(2 解:(1)因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它的标准方程为x+=1(a>b>0) ∵2a=10.2c=8 ∴a=5,c4 ∴b2=a2-c2=52-42=9 所以所求椭圆的标准方程为+ (2)因为椭圆的焦点在y轴上,所以设它的标准方程为+=(a>b>0) 由椭圆的定义知: 2 2+(⊙-2)2=2√10 a=√10,又c2 ∴b2=a2-c2=6 所以所求椭圆方程为 说明:例1(1)(2)要求学生熟练应用c2=a2-b2关系式求解椭圆标准方程. Ⅲ课堂练习 课本Ps5练习2,3 ●课堂小结 师:通过本节学习,要求大家理解并掌握椭圆定义,并熟练掌握椭圆的两种标准方程及应用. ●课后作业 习题8.11,3,4 ●板书设计
所以得： 2 2 (x + c) + y + 2 2 (x − c) + y =2a 整理得：（a 2－c 2）x 2+a 2 y 2=a 2 (a 2－c 2 ). 由椭圆的定义可知：2a＞2c，即 a＞c，故 a 2－c 2＞0. 令 a 2－c 2=b 2，其中 b＞0，代入上式整理得： 1( 0) 2 2 2 2 + = a b b y a x 说明：其中具体整理步骤让学生自得. 3．例题讲解： 例 1 求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）两个焦点的坐标分别是（－4，0），（4，0），椭圆上一点 P 到两焦点距离之和等于 10； （2）两个焦点的坐标分别是（0，－2）、（0，2），并且椭圆经过点 ) 2 5 , 2 3 (− . 解：（1）因为椭圆的焦点在 x 轴上，所以设它的标准方程为 1( 0) 2 2 2 2 + = a b b y a x . ∵2a=10, 2c=8 ∴a=5, c=4 ∴b 2=a 2－c 2=52－4 2=9 所以所求椭圆的标准方程为 1 25 9 2 2 + = x y . （2）因为椭圆的焦点在 y 轴上，所以设它的标准方程为 1( 0) 2 2 2 2 + = a b b x a y . 由椭圆的定义知： 2a= 2) 2 10 2 5 ) ( 2 3 2) ( 2 5 ) ( 2 3 ( 2 2 2 2 − + + + − + − = ∴a= 10 ，又 c=2 ∴b 2=a 2－c 2=6 所以所求椭圆方程为 1 10 6 2 2 + = y x 说明：例 1（1）（2）要求学生熟练应用 c 2=a 2－b 2 关系式求解椭圆标准方程. Ⅲ.课堂练习： 课本 P95 练习 2，3 ●课堂小结 师：通过本节学习，要求大家理解并掌握椭圆定义，并熟练掌握椭圆的两种标准方程及应用. ●课后作业 习题 8.1 1，3，4 ●板书设计
椭圆定义 3例题1(1) 学生练习 2.标准方程 ●教学后记
●教学后记 §8.1.1 …… 1．椭圆定义 3.例题 1（1） 学生练习 …… …… 1…… 2．标准方程 （2）…… …… 2……
