●教学目标 1.掌握圆的标准方程的形式特点 2.能根据圆心坐标、半径熟练写出圆的标准方程 3.能从圆的标准方程求出它的圆心和半径 ●教学重点 圆的标准方程 ●教学难点 根据条件建立圆的标准方程 ●教学方法 学导式 ●教具准备 幻灯片、圆规、三角板 ●教学过程 I.复习回顾 师:在初中的几何课本中,大家对圆就比较熟悉,这一节我们用解析法来研究它的方程,首先来回顾 下圆的定义 生:平面内与定点距离等于定长的点的集合是圆,定点就是圆心,定长就是半径 师:接下来,我们按照求解曲线方程的一般步骤来求解圆的方程 Ⅱ.讲授新课 圆的标准方程 (x-a)2+(y-b) 其中圆心坐标为(a,b),半径为r 推导:如图7-32,设M(xy)是圆上任意一点,根据定义,点M到圆心C 的距离等于所以圆C就是集合P={MCFr由两点间的距离公式,点M C 适合的条件可表示为(x-a)2+(y-b)2=r 把①式两边平方,得(x-a)2+(y-b)2=r 图7-32 2.例题讲解 例1求以C(1,3)为圆心,并且和直线3x-4y-7=0相切的圆的方程 解:因为圆C和直线3x-4y-7=0相切,所以半径r等于圆心C到这条直线的距离 根据点到直线的距离公式,得P 3×1-4×3-716 32+(-4) 因此,所求的圆的方程是(x-1)2+(y-32=256 说明:例1中用到了直线和圆相切的性质,即圆心与切点连线垂直于切线且等于半径 例2已知圆的方程是x2+y2=2,求经过圆上一点M(x0,y)的切线的方程 解:如图7-33,设切线的斜率为k,半径OM的斜率为k,因为圆的切线垂直于过切点的半径,于是
●教学目标 1．掌握圆的标准方程的形式特点； 2．能根据圆心坐标、半径熟练写出圆的标准方程； 3．能从圆的标准方程求出它的圆心和半径. ●教学重点 圆的标准方程 ●教学难点 根据条件建立圆的标准方程 ●教学方法 学导式 ●教具准备 幻灯片、圆规、三角板 ●教学过程 Ⅰ.复习回顾 师：在初中的几何课本中，大家对圆就比较熟悉，这一节我们用解析法来研究它的方程，首先来回顾 一下圆的定义. 生：平面内与定点距离等于定长的点的集合是圆，定点就是圆心，定长就是半径. 师：接下来，我们按照求解曲线方程的一般步骤来求解圆的方程. Ⅱ.讲授新课 1．圆的标准方程： 2 2 2 (x − a) + (y − b) = r 其中圆心坐标为（a,b），半径为 r 推导：如图 7—32，设 M（x,y）是圆上任意一点，根据定义，点 M 到圆心 C 的距离等于 r,所以圆 C 就是集合 P ={M | MC |= r}. 由两点间的距离公式，点 M 适合的条件可表示为 x − a + y − b = r 2 2 ( ) ( ) 把①式两边平方，得 2 2 2 (x − a) + (y − b) = r 2．例题讲解： 例 1 求以 C（1，3）为圆心，并且和直线 3x－4y－7=0 相切的圆的方程. 解：因为圆 C 和直线 3x－4y－7=0 相切，所以半径 r 等于圆心 C 到这条直线的距离. 根据点到直线的距离公式，得 5 16 3 ( 4) 3 1 4 3 7 2 2 = + − − − r = 因此，所求的圆的方程是 . 25 256 ( 1) ( 3) 2 2 x − + y − = 说明：例 1 中用到了直线和圆相切的性质，即圆心与切点连线垂直于切线且等于半径. 例 2 已知圆的方程是 x 2+y 2=r 2，求经过圆上一点 M（x0， y0）的切线的方程. 解：如图 7—33，设切线的斜率为 k，半径 OM 的斜率为 k1,因为圆的切线垂直于过切点的半径，于是 k=－ 1 1 k
yo k yo 经过点M的切线方程是:y-y0=-=(x-x) 整理得:x0x+y0y=x2+y0 因为点M(x,)在圆上,所以x2+y2=r 所求切线方程为:x0x+y0y 当点M在坐标轴上时,上述方程同样适用 说明:例2结论要求学生熟记 例3图7-34是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图该圆拱跨度AB=20m,拱高 OP=4m,在建造时每隔4m需用一个支柱支撑,求支柱A2P2的长度(精确到 0.0lm) 圆心在y轴上,设圆心的坐标是(0,b),圆的半径是那么圆的方程是x(火 解:建立直角坐标系如图7-34所示 因为P、B都在圆上,所以它们的坐标(0,4)、(10,0)都是这个圆的方 图7·34 程的解于是得到方程组 解得b=-10.5,2=1452 所以这个圆的方程是:x2+(y+10.5)2=14.52 把点P的横坐标x=-2代入圆方程得 y=√145 2)2-10.5=386(m) 答:支柱A2P2的长度约为386m 说明:例3一方面让学生进一步熟悉求曲线方程的一般步骤,另一方面了解待定系数法确定曲线方程 的思路 Ⅲ课堂练习 课本P7练习1,2,3,4 ●课堂小结 师:通过本节学习,要求大家熟练掌握圆的标准方程,了解待定系数法,进一步熟悉求曲线方程的 般步骤,并能解决一些简单的有关圆的实际问题 ●课后作业 习题7.71,2,3,4 ●板书设计 1.圆的标准方程 2例1 例3练习1 练习3 例2 …练习2 练习4
0 0 0 0 1 , y x k x y k = = − . 经过点 M 的切线方程是： ( ) 0 0 0 0 x x y x y − y = − − 整理得： 2 0 2 0 0 0 x x + y y = x + y 因为点 M（x0，,y0）在圆上，所以 2 2 0 2 0 x + y = r 所求切线方程为： 2 0 0 x x + y y = r 当点 M 在坐标轴上时，上述方程同样适用. 说明：例 2 结论要求学生熟记. 例 3 图 7—34 是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图.该圆拱跨度 AB=20m，拱高 OP=4m，在建造时每隔 4m 需用一个支柱支撑，求支柱 A2P2 的长度（精确到 0.01m）. 解：建立直角坐标系如图 7—34 所示. 圆心在 y 轴上，设圆心的坐标是（0，b），圆的半径是 r,那么圆的方程是 x 2+(y －b) 2=r 2 因为 P、B 都在圆上，所以它们的坐标（0，4）、（10，0）都是这个圆的方 程的解.于是得到方程组. + − = + − = 2 2 2 2 2 2 10 (0 ) 0 (4 ) b r b r 解得 b=－10.5, r 2=14.52 所以这个圆的方程是：x 2+(y+10.5)2=14.52 把点 P 的横坐标 x=－2 代入圆方程得 14.5 ( 2) 10.5 3.86(m) 2 2 y = − − − = 答：支柱 A2P2 的长度约为 3.86m. 说明：例 3 一方面让学生进一步熟悉求曲线方程的一般步骤，另一方面了解待定系数法确定曲线方程 的思路. Ⅲ.课堂练习 课本 P77 练习 1，2，3，4 ●课堂小结 师：通过本节学习，要求大家熟练掌握圆的标准方程，了解待定系数法，进一步熟悉求曲线方程的一 般步骤，并能解决一些简单的有关圆的实际问题. ●课后作业 习题 7.7 1，2，3，4 ● 板书设计 §7.7.1 1．圆的标准方程 2.例 1 例 3 练习 1 练习 3 …… …… …… …… …… 例 2 …… 练习 2 练习 4 …… …… ……
●教学后记
●教学后记