第五章 0.5 yf(1+x2+ 5 0.5 0 5 0 5 5
第五章
§5,空间曲面和空间曲线 空间曲面及其方程 由上节知,空间平面对应于一个三元 次方程: Ax By+cz+D=o 反之,任意一个三元一次方程也对应于空间 中的一个平面 空间平面n在直角坐标系下三元一次方程 第五章
第五章 工 程 数 学 §5. 空间曲面和空间曲线 由上节知，空间平面对应于一 个三元 一次方程： Ax + By + Cz + D = 0 反之，任意一个三元一次方程也对应于空间 中的一个平面. (1) 一、空间曲面及其方程 空间平面 三元一次方程 在直角坐标系下
1.曲面方程的概念 设有空间曲面S及三元方程F(x,y,z)=0 如果 S上任一点Mx,y,z)的坐标x,y,z都 满足方程F(x,y,z)=0 F(x,y,z)=0的任一解(x,y,z)对应的 空间点(x,y,z)也在S上 则称F(x,y,z)=0为S的方程.而S则称为 F(x,y,z)=0的几何图形 第五章
第五章 工 程 数 学 设有空间曲面 S 及三元方程 F (x, y, z) = 0. 如果 1. 曲面方程的概念 F (x, y, z) = 0 的任一解 (x, y, z) 对应的 空间点 (x, y, z) 也在 S 上. S 上任一点 M(x, y, z) 的坐标 x, y, z 都 满足方程 F (x, y, z) = 0； 则称F(x, y, z)=0为 S 的方程. 而 S 则称为 F (x, y, z)=0的几何图形
空间中与定点M的距离恒为R的点的全 体构成的几何图形称为球面.定点M为球面 的中心,R称为球面的半径 设球面上任一点M的坐标为(x,y,z)则M 到球心M的距离为R,即|MM=R 故(x-x0)2+(y-y0)2+(x-z0)2=R2.(2) 为中心在M半径为R的球面方程 第五章
第五章 工 程 数 学 空间中与定点 M0 的距离恒为 R 的点的全 体构成的几何图形称为球面. 定点 M0 为球面 的中心，R 称为球面的半径. 设球面上任一点 M 的坐标为( x, y, z ) 则 M 到球心M0的距离为R, 即 | M0M |=R. 故 ( ) ( ) ( ) . 2 2 0 2 0 2 x − x0 + y − y + z − z = R (2) 为中心在 M0 半径为 R 的球面方程
R X 特例:x0=y0=20=0.则(2)变为 x2+y2+z2=R2 (3) (3)麦表示中心在原点,半径为R的球面方程 第五章
第五章 工 程 数 学 M • 0 R x 0 y z M 特例: x0 = y0 = z0 = 0. 则(2)变为 x 2+y 2+z 2 = R2 . (3) (3)表示中心在原点，半径为R的球面方程
2.旋转曲面 以一条平面曲线绕平面上的一条直线旋 转一周所形成的曲面叫旋转曲面. 旋转曲线和定直线分别称为旋转曲面的 母线和轴 第五章
第五章 工 程 数 学 2. 旋转曲面 以一条平面曲线绕平面上的一条直线旋 转一周所形成的曲面叫旋转曲面. 旋转曲线和定直线分别称为旋转曲面的 母线和轴
设y平面上曲线C的方程为∫(y,z)=0 将曲线绕z轴旋转一周得一曲面设旋转面上 任一点M(x,y,z)于M作垂直于x轴的平面 它与曲线C交于M1(0,y1,z),与z轴交于 M2(0,0, fo
第五章 工 程 数 学 设 yz 平面上曲线 C 的方程为 f (y, z)= 0. 将曲线绕 z 轴旋转一周得一曲面.设旋转面上 任一点 M(x, y, z), x y f (y, z)=0 z M1 M M2 • • 于 M 作垂直于 z 轴的平面, 它与曲线 C 交于 M1 ( 0, y1 , z), 与 z 轴交于 M2 (0, 0, z)
因为M1(0,y12)在C上,所以f(1,z)=0 由旋转性M1M2=|MM2 即 x t y f(x=)=0 代入∫(v,z)=0得 M f(±yx2+y2,z)=0 X 第五章
第五章 工 程 数 学 因为M1 (0, y1 , z)在 C 上, 所以 f (y1 , z)=0 由旋转性 | M1M2 | = | MM2 | 即 | | , 2 2 1 y = x + y ( , ) 0 2 2 f x + y z = 代入 f (y1 , z) = 0 得 x y f (y, z)=0 z M1 M M2 • •
其它情形 y平面曲线∫,z)=0绕y轴旋转所成旋转 面之方程: f(y,±x2+z2)=0 xy平面曲线f(x,y)=0绕x轴旋转所成旋转 面之方程: f(x,±Vy2+=2)=0 第五章
第五章 工 程 数 学 其它情形 ( , ) 0. 2 2 f y x + z = xy平面曲线 f (x, y)=0绕 x 轴旋转所成旋转 面之方程: ( , ) 0. 2 2 f x y + z = yz平面曲线 f (y, z)=0绕 y 轴旋转所成旋转 面之方程:
常用旋转曲面一圆锥面 两相交直线中一条直 线l绕另一直线旋转一周 而成曲面称为圆锥面 l与旋转轴夹角a(0<a<a) 称为圆锥面的半顶角 第五章
第五章 工 程 数 学 常用旋转曲面－圆锥面 两相交直线中一条直 线 l 绕另一直线旋转一周 而成曲面称为圆锥面. ) 2 (0 称为圆锥面的半顶角. l 与旋转轴夹角 0 x y z l