《线性代数》第四章 线性方程组（4.1）高斯消元法

第四章线性方程组 高斯消元法 齐次线性方程组 非齐次线性方程组

1 第四章 线性方程组 一. 高斯消元法 二. 齐次线性方程组 三. 非齐次线性方程组

高斯消元法 设一般线性方程组为 x1十a1,x 12 t ( x 11 211 22~2 十 ann amx t am2x2 t + a mn 1 12 n 则称矩阵A= 2n为方程组(系数矩阵 mI 2 2

2 一. 高斯消元法 设一般线性方程组为 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 (1) n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b  + + + =   + + + =     + + + = 则称矩阵 11 12 1 21 22 2 1 2 n n m m mn a a a a a a A a a a     =         为方程组(1)的系数矩阵

2 称矩阵B=(A,b)= 21 22 a2n b, m2 为方程组()的增广矩阵。 当b=0(=1,2,,m)时齐次线性方程组 11 CI 12 十a1x 211 22 +a X nn 00::0 十a…X m2+2 十 十ax mn 1 称为方程组(1)的导出组, 或称为(1)对应的齐次线性方程组

3 称矩阵 11 12 1 1 21 22 2 2 1 2 ( , ) n n m m mn m a a a b a a a b B A b a a a a     = =         为方程组(1)的增广矩阵。 称为方程组（1）的导出组， 或称为（1）对应的齐次线性方程组。 当 0 ( 1,2, , ) i b i m = = 时,齐次线性方程组 11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 1 1 2 2 0 0 (2) 0 n n n n m m mn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x  + + + =   + + + =     + + + =

定义:线性方程组的初等变换 (1)用一非零的数乘某一方程 (2)把一个方程的倍数加到另一个方程 (3)互换两个方程的位置 可以证明一个线性方程组经过若干次初等变换 所得到的新的线性方程组与原方程组同解 对一个方程组进行初等变换,实际上就是对它的增广矩阵 做初等行变换 初等行变换 B=(A,b)

4 定义：线性方程组的初等变换 （1） 用一非零的数乘某一方程 （2） 把一个方程的倍数加到另一个方程 （3） 互换两个方程的位置 可以证明一个线性方程组经过若干次初等变换， 所得到的新的线性方程组与原方程组同解 对一个方程组进行初等变换，实际上就是对它的增广矩阵 做初等行变换 B A b = ⎯⎯→ ( , ) 初等行变换

12 1,r+1 1 0 s 22 Ir 2,r+1 2 化为行阶 梯形矩阵00 r,r+1 00 0 0 t r+1 00 0 00

5 11 12 1 1, 1 1 1 22 1 2, 1 2 2 , 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 r r n r r n rr r r rn rr s s s s s t s s s s t s s s tt +++ +     ⎯⎯→   化为行阶 梯形矩阵

10.0 r+1 l1 01.0 2,r+1 2 d 2 简形矩阵00 r,r+1 r+1 00..00 00 0 00 则以矩阵(3)为增广矩阵的方程组与方程组(1)同解

6 则以矩阵（3）为增广矩阵的方程组与方程组（1）同解。 1, 1 1 1 2, 1 2 2 , 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 (3) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 r n r n r r rn r r c c d c c d c c d d + + + +     ⎯⎯→   化为行最 简形矩阵

由矩阵(3)可讨论方程组(1)的解的情况 1)若d1≠0,则方程组无解 2)若dr+1=0,则方程组有解, 当r=n有唯一解。 r<n有无穷多解。 3)特别地,方程组(1)的导出组,即对应的齐次线性方程组 定有解。 有唯一的零解。 r<n有无穷多解,即有非零解

7 由矩阵（3）可讨论方程组（1）的解的情况 1) 若 dr+1  0 ，则方程组无解。 2) 若 1 0, r d + = 则方程组有解， 当 r n r n  =    有唯一解。 有无穷多解。 3) 特别地，方程组(1)的导出组，即对应的齐次线性方程组 一定有解。 当 r n r n  =    有唯一的零解。 有无穷多解，即有非零解

举例说明消元法具体步骤: 例1:书P108例4.1.1 2. +3. 例2:解线性方程组{4x1 2x,+5x 2x, +4. 2-131 2-131 解:(A,b)=4-254-00-12 2-13 →00-12最后一行有0x2=1 0001)可知方程组无解

8 举例说明消元法具体步骤： 例1：书P108 例4.1.1 例2：解线性方程组 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 3 1 4 2 5 4 2 4 0 x x x x x x x x x  − + =   − + =  − + =  解：           − − → 0 0 0 1 0 0 1 2 2 1 3 1 2 1 3 1 0 0 1 2 0 0 1 1   − → −         − 最后一行有 3 0 1, x = 可知方程组无解。 2 1 3 1 ( , ) 4 2 5 4 2 1 4 0 A b   −   = −       −

2x,+3x 4x x 例3:解线性方程组 +3x 3x 7x,+3x,+x 1-23 解:(A,b) 0 137 103 0 1-23-41 41311000 0 02-40 2100 3110 2|0 00-480

9 例3：解线性方程组 1 2 3 4 2 3 4 1 2 4 2 3 4 2 3 4 1 0 3 3 1 7 3 0 x x x x xxx x x x xxx  − + − =   − + =  + − =   − + + =  解： (A,b) = 1 2 3 4 1 0 1 1 1 0 0 0 2 4 0 0 0 4 8 0   − −   − →     −     −               − − − − → 0 0 0 0 0 0 0 1 2 0 0 1 1 1 0 1 2 3 4 1 1 2 3 4 1 0 1 1 1 0 1 3 0 3 1 0 7 3 1 0   − −   −     −     −

2021 00 1000 20 1000 0100 1-2 000 =1 对应的方程组为 0 即{x2=x4 2x,=0 x,=2 x=k 所以一般解为 3=2k(k为任意常数)

10 1 2 0 2 1 0 1 0 1 0 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0   −   − ⎯⎯→    −     1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0     − ⎯⎯→    −     对应的方程组为 1 2 4 3 4 1 0 2 0 x x x x x  =   − =  − =  1 2 4 3 4 1 2 x x x x x  =   =  =  即 所以一般解为 1 2 3 4 1 2 x x k x k x k  =   =  =    = （k为任意常数）