三.逆矩阵 1.逆矩阵的定义、唯一性 2.矩阵可逆的判别定理及求法 3.可逆矩阵的性质 1.逆矩阵的定义、唯一性 概念的引入:在数的运算中,当数a≠0时,有 aa =aa 其中a=-为a的倒数,(或称a的逆); 在矩阵的运算中,单位阵E相当于数的乘法运算中的1, 那么,对于矩阵A,如果存在一个矩阵A 使得44=AA=E, 则矩阵A称为A的可逆矩阵或逆阵
1 三. 逆矩阵 1. 逆矩阵的定义、唯一性 2. 矩阵可逆的判别定理及求法 3. 可逆矩阵的性质 1. 逆矩阵的定义、唯一性 1, 1 1 = = − − aa a a 则矩阵 称为A的可逆矩阵或逆阵. −1 A 概念的引入: 在数的运算中，当数 a 0 时，有 a a 1 1 = − 其中 为 a 的倒数， （或称 a 的逆）； 在矩阵的运算中，单位阵 E 相当于数的乘法运算中的1， 那么，对于矩阵 A ， −1 如果存在一个矩阵 A , , 1 1 AA = A A = E − − 使得
定义:设A为n阶方阵,若存在n阶方阵B,使得 AB= BA=E 则称矩阵A是可逆的,方阵B称为A的逆矩阵, 记作Ah=B 例:设A 1/21/2 B AB= BA= E B是4的一个逆矩阵
2 定义： A B A B A AB BA E A B = = = −1 n n 记作 则称矩阵 是可逆的，方阵 称为 的逆矩阵， 设 为 阶方阵，若存在 阶方阵 ，使得 例 : 设 , 1 2 1 2 1 2 1 2 , 1 1 1 1 − = − A = B AB = BA = E, B是A的一个逆矩阵
唯一性:若A是可逆矩阵,则A的逆矩阵是唯一的 证明:设B、C都是A的逆矩阵,则 AB= BA=E, AC=CA= E 从而B=EB=(CA)B=C(AB)=CE=C
3 唯一性：若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的. 证明： B EB CA B C AB CE C AB BA E AC CA E B C A = = = = = = = = = 从而 ( ) ( ) ， 设 、 都是 的逆矩阵，则
逆矩阵的求法一:待定系数法 例1:设A/2 求A的逆矩阵 解:设B= 是A的逆矩阵, C 2 1a b AB C 2a+c2b+d(10 b
4 则 − = c d a b AB 1 0 2 1 = 0 1 1 0 = − − + + 0 1 2 2 1 0 a b a c b d 逆矩阵的求法一：待定系数法 例1: 设 , 1 0 2 1 − A = 求A的逆矩阵. 解： = c d a b 设 B 是 A 的逆矩阵
2a+c=1, 2b+d=0, b=-1 今 c=1, b=1, d=2. 又因为 AB BA 21/0 0-121 10八12 所以 4 12
5 − = − = + = + = 1, 0, 2 0, 2 1, ba b d a c === −= 2. 1,1 , 0 , dcba 又因为 − 1 0 2 1 − 1 2 0 1 − 1 0 2 1 = − 1 2 0 1 , 0 1 1 0 = 所以 . 1 2 0 1 1 − = − A AB BA
2.矩阵可逆的判别定理及求法 定理:阶方阵可逆当且仅当A≠0 A',其中4为矩阵4的伴随矩阵 证明:(→) A可逆,则有A,使AA=E 两边取行列式,得AA=AA=1 因此,A≠0
6 2. 矩阵可逆的判别定理及求法 定理: n阶方阵A可逆当且仅当 A 0 证明： 0 1 ( ) 1 1 1 1 = = = − − − − A AA A A A A AA E 因此， 两边取行列式，得 可逆，则有 ，使 1 1 A A , A − 且 = 其中A 为矩阵A的伴随矩阵.
因为AA=AE,当A≠Q时,有4(=E, 又因为AA=AE,当4≠0时,有(A=E, 4 所以4(A)=()A=E,所以A 奇异矩阵:A=0 (退化矩阵) 非奇异矩阵:A4≠0(非退化矩阵)
7 奇异矩阵： A = 0 非奇异矩阵： A 0 （退化矩阵） （非退化矩阵） − = = = = = = = A A A E A A A A A A A E A A A A AE A E A A AA AE A A 1 ( ) ( ) 0 ( ) 0 ( ) ( ) 所以 ，所以 1 又因为 ，当 时，有 ， 因为 ，当 时，有
推论:没设A、B为同阶方阵,若AB=E 则方阵A和B都可逆, 且A=B,B-1=A 证明:若AB=E,则AB|=A4B|=1 所以4≠0,所以A存在,有 B=EB=(A AB=A(AB)=AE=A 同理,B可逆,且A=B 注:判断B是否为A的逆矩阵, 只需验证AB=E和BA=E中的一个即可
8 推论： A B B A A B A B AB E = = = 且 −1 ， −1 则方阵 和 都可逆， 设 、 为同阶方阵，若 ， 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) 0 , 1 − − − − − − = = = = = = = = = B A B B EB A A B A AB A E A A A AB E AB A B 同理， 可逆，且 所以 ，所以 存在 有 证明： 若 ，则 注： 只需验证 和 中的一个即可 判断 是否为 的逆矩阵， AB E BA E B A= =
逆矩阵的求法二:伴随矩阵法 1 A;其中A 其中A为A的伴随矩阵 A为行列式A中元素a的代数余子式 (2)特别地,对二阶方阵A= 当4=ad-bc≠0时,有 ad-bc
9 . 1 1n 2n nn 12 22 n2 11 21 n1 1 为行列式 中元素 的代数余子式 其中 为 的伴随矩阵， ，其中 Aij A aij A A A A A A A A A A A A A A A − = = (1) (2) − − − = = = − = − c a d b ad bc A A A A ad bc c d a b A 1 1 0 1 当 时，有 特别地，对二阶方阵 逆矩阵的求法二：伴随矩阵法
3.可逆矩阵的运算性质 ()若可逆则亦可逆,且(4) (2)若A可逆数≠0,则可逆,且 (3)若A,B为同阶方阵且均可逆,则AB亦可逆,且 证明:(4B)B-A-)=4(BB)4=AEA1 AB B A =AA=E 推广(41A2…4)1=An1A21A1
10 (1) , , ( ) . 1 1 1 A A A = A − 若 可逆 则 − 亦可逆 且 − 3. 可逆矩阵的运算性质 ( ) 2 若A可逆,数 0,则A可逆,且 (3)若A,B为同阶方阵且均可逆,则AB亦可逆,且 ( )( ) ( ) −1 −1 −1 −1 AB B A = A BB A −1 = AEA , 1 = AA = E − ( ) . −1 −1 −1 AB = B A 证明： ( ) = −1 ABB −1 −1 A ( ) . −1 1 −1 A = A ( ) . 1 2 1 2 − − 推广 A1 A Am = A −1 Am −1 A1