《高等数学》课程教学资源：第二章 导数与微分（2.1）导数的概念

21号的概念 高等数学

高 等 数 学

问题的提出 自由落体运动的瞬时速度问题: 如图,求t时刻的瞬时速度, 取一邻近于t的时刻,运动时间△M,°0△ 运用自由落体公式:s=gt2 S △s 平均速度ⅴ= (to +t) △tt 当t→t时,取极限得 瞬时速度ⅴ=lim lin &(t gto

一、问题的提出 自由落体运动的瞬时速度问题： 0 s t , 求t 0时刻的瞬时速度 s 如图, , 0 取一邻近于t 的时刻t 运动时间t, t s v   平均速度 = 0 0 t t s s − − = ( ). 2 0 t t g = + , 当t → t 0时 取极限得 2 (t t) v lim lim 0 0 0 0 0 + = − − = → → g t t s s t t t t 瞬时速度 . 0 = gt 2 gt 2 1 运用自由落体公式： s =

2切线问题割线的极限位置切线位置 1.51.75 2.252 2.75

2.切线问题 割线的极限位置——切线位置 播放

J 如图,如果割线MN绕点 y=f(r) M旋转而趋向极限位置 MT,直线MT就称为曲线 C在点M处的切线 极限位置即 0 0 rx MN→0,∠MMT→0.即:g→>a设M(x0,y),N(x,y) 割线M的斜率为tnp=”-y=f(x)-f(xn) d-d X-d 沿曲线C 0 M. 切线Mm的斜率为k=tano=lim f(x)-f(x0) X→x r-d

如图, 如果割线MN绕点 M旋转而趋向极限位置 MT,直线MT就称为曲线 C在点M处的切线. 极限位置即 MN → 0,NMT → 0. ( , ), ( , ). 0 0 设 M x y N x y 割线MN的斜率为 0 0 tan x x y y − −  = , ( ) ( ) 0 0 x x f x f x − − = , , 0 N M x x ⎯沿 ⎯曲 ⎯线 ⎯C → → 切线MT的斜率为 . ( ) ( ) tan lim 0 0 0 x x f x f x k x x − − =  = → 即：  →   T 0 o x x x y y = f (x) C N M x y

导数的定义 定义:设函数y=f(x)在点x的某个邻域内 有定义,当自变量x在x处取得增量Δx(点 x+△x仍在该邻域内)时,相应地函数y取 得增量Ay=f(x0+Ax)-f(x0)如果Ay与 △x之比当Ax→0时的极限存在,即lm △ △x→>0△x 存在。则称函数y=f(x)在点x处可导,并 称这个极限为函数y=f(x)在点x处的导数 口为 d x

二、导数的定义: 定义: 设函数 y = f (x)在点x0 的某个邻域内 有定义, 当自变量x在x0 处取得增量x (点 x0 + x仍在该邻域内)时, 相应地函数 y取 得增量y = f (x0 + x) − f (x0 ); 如果y与 x y x x x     →  →0 之比当 0时的极限存在， 即 lim 存在。则称函数y = f (x)在点x0 处可导, 并 ( ) , 称这个极限为函数y = f x 在点x0 处的导数 , x x0 y = 记为  , ( ) 0 0 x x x x dx df x dx dy = 或 =

即:y1==m△y=minf(xn+△x)-f(x) 0△x→0△x △→>0 其它形式:f(x0)=mJ(x+h)-f(x) h→0 h f(x)-f(x0) o= lIr →x0 0

. ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 h f x h f x f x h + −  = → 其它形式: . ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 x x f x f x f x x x − −  = → x f x x f x x y y x x x x  +  − =    =  →  → = ( ) ( ) lim lim 0 0 即 0 0 0 :

关于导数的说明: ★点导数是因变量在点x处的变化率它 反映了因变量随自变量的变化而变化的快 慢程度 ★如果函数y=f(x)在开区间Ⅰ内的每点 处都可导就称函数f(x)在开区间I内可导

. , 0 慢程度 反映了因变量随自变量的变化而变化的快 点导数是因变量在点x 处的变化率 它 , ( ) . ( ) 处都可导 就称函数 在开区间 内可导 如果函数 在开区间 内的每点 f x I y = f x I ★ ★ 关于导数的说明：

★对于任一x∈l都对应着f(x)的一个确定的导数值 这个函数叫做原来函数f(x)的导函数 记作y,/(x),或(x) x ax 即y=im f∫(x+△x)-f(x) △x→0 △y 或∫(x)=lim f∫(x+h)-f(x) h→0 注意:1.f(x)=f(x)x

对于任一 xI,都对应着 f (x)的一个确定的导数值. x f x x f x y x  +  −  =  → ( ) ( ) lim 0 即 . ( ) ( ) ( ) lim 0 h f x h f x f x h + −  = → 或 注意: 1. ( ) ( ) . 0 x x0 f x f x =  =  ★ 这个函数叫做原来函数 f (x)的导函数. . ( ) , ( ), dx df x dx dy 记作 y  f  x 或

思考题: 函数f(x)在某点x0处的导数f(x) 与导函数f(x)有什么区别与联系?

思考题: 函数 f (x)在某点x0处的导数 ( ) x0 f  与导函数 f (x)有什么区别与联系？

思考题解答: 由导数的定义知,f'(x0)是一个具体的 数值,∫(x)是由于f(x)在某区间上每 点都可导而定义在上的一个新函数,即 Vx∈I,有唯一值f∫'(x)与之对应,所以两 者的区别是:一个是数值,另一个是函数.两 者的联系是:在某点x0处的导数f'(x0)即是导 函数∫(x)在x0处的函数值

思考题解答: 由导数的定义知， ( ) x0 f  是一个具体的 数值， f (x)是由于f (x) 在某区间I 上每一 点都可导而定义在I 上的一个新函数，即 x  I ，有唯一值 f (x)与之对应，所以两 者的区别是：一个是数值，另一个是函数．两 者的联系是：在某点x0 处的导数 ( ) x0 f  即是导 函数 f (x)在x0 处的函数值．