4国数周性的判别法 高等数学
高 等 数 学
、单调性的判别法 B y=f(r) y=f(r) B b 0 a 6 x f(x)≥0 f(x)≤0 定理设函数y=f(x)在[a,b上连续,在(a,b内可 导.(1)如果在(a,b内∫(x)>0,那末函数y=f(x) 在[anb]上单调增加(2)如果在(a1b)内f(x)<0, 那未函数y=f(x)在a,b上单调减少
一、单调性的判别法 x y o y = f (x) x y o y = f (x) a b A B f (x) 0 f (x) 0 定理 . ( ) [ , ] ( , ) 导 设函数 y = f x 在 a b 上连续，在 a b 内可 a b B A 在 上单调增加； （）如果在 内 ，那末函数 [ , ] 1 ( , ) ( ) 0 ( ) a b a b f x y = f x (2)如果在(a,b)内f (x) 0， 那末函数y = f (x)在[a,b]上单调减少
证Vx,x2∈(a,b),且x10, 若在(a,b)内,∫(x)>0,则∫(4)>0, ∫(x2)>f(x1).∴y=∫(x)在a,b上单调增加 若在(a,b内,f(x)<0,则∫(4)<0, f(x2)<∫(x1)∴y=f(x)在a,b上单调减少
证 , ( , ), x1 x2 a b , 且 x1 x2 应用拉氏定理,得 ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 1 x2 x1 x1 x2 f x − f x = f − 0, x2 − x1 若在(a,b)内，f (x) 0, 则 f ( ) 0, ( ) ( ). 2 x1 f x f y = f (x)在[a,b]上单调增加. 若在(a,b)内，f (x) 0, 则 f ( ) 0, ( ) ( ). 2 x1 f x f y = f (x)在[a,b]上单调减少
例1讨论函数y=ex-x-1的单调性 解∴y=ex-1又:D:(-∞,+) 在(-,0内,y0,∴函数单调增加 注意:函数的单调性是一个区间上的性质,要用 导数在这一区间上的符号来判定,而不能用 点处的导数符号来判别一个区间上的单调性
例1 解 讨论函数y = e − x − 1的单调性. x = − 1. x y e 在(−,0)内, y 0, 函数单调减少； 在(0,+)内, y 0, 函数单调增加. 注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用 导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一 点处的导数符号来判别一个区间上的单调性． 又D :(−,+)
二、单调区间求法 问题:如上例,函数在定义区间上不是单调的, 但在各个部分区间上单调 定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调 的,则该区间称为函数的单调区间 导数等于零的点和不可导点,可能是单调区间 的分界点 方法:用方程∫(x)=0的根及f(x)不存在的点 来划分函数f(x)的定义区间, 然后判断区间内导数的符号
二、单调区间求法 问题:如上例，函数在定义区间上不是单调的， 但在各个部分区间上单调． 定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调 的， 导数等于零的点和不可导点， 方法: ( ) , ( ) 0 ( ) 来划分函数 的定义区间 用方程 的根及 不存在的点 f x f x = f x 则该区间称为函数的单调区间. 可能是单调区间 的分界点． 然后判断区间内导数的符号
确定函数 例2 f(x)=2x3-9x2+12x-3 的单调区间 解∵D:(-∞,+∞) ∫(x)=6x2-18x+12=6(x-1)(x-2) 解方程f(x)=0得,x=1,x2=2 当-∞0,∴在(-∞,1上单调增加; 当10,∴在2,+0)上单调增加; 单调区间为(-∞,1b[1,2l,[2,+∞)
例2 解 . ( ) 2 9 12 3 3 2 的单调区间 确定函数 f x = x − x + x − D :(−,+). ( ) 6 18 12 2 f x = x − x + = 6(x − 1)( x − 2) 解方程f (x) = 0 得， 1, 2. x1 = x2 = 当− x 1时， f (x) 0, 在(−,1]上单调增加； 当1 x 2时， f (x) 0, 在[1,2]上单调减少； 当2 x +时， f (x) 0, 在[2,+)上单调增加； 单调区间为 (−,1]， [1,2]，[2,+)
例3确定函数∫(x)=x2的单调区间 解∵D:(-∞,+∞) 2 f(x)= (x≠0) 当x=0时,导数不存在 当-∞0,∴在[0,+∞)上单调增加 单调区间为(-∞,0,[0,+∞)
例3 解 ( ) . 确定函数 f x = 3 x 2 的单调区间 D :(−,+). , ( 0) 3 2 ( ) 3 = x x f x 当x = 0时,导数不存在. 当− x 0时， 当0 x +时，f (x) 0, 在[0,+)上单调增加； f (x) 0, 在(−,0]上单调减少； 单调区间为 (−,0]， [0,+). 3 2 y = x
注意:区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性 例如,y=x3,yk==0,但在(-∞,+∞)上单调增加 例4当x>0时,试证x>ln(1+x)成立 证设f(x)=x-ln(1+x),则f(x) 1+x ∫(x)在[0,+∞)上连续,且(0,+∞)可导,f(x)>0, 在[0,+∞)上单调增加;∵f(0)=0, 当x>0时,f(x)>f(0) x(x)>0,即x>m(1+x)
例4 证 当x 0时,试证x ln(1 + x)成立. 设f (x) = x − ln(1 + x), . 1 ( ) x x f x + 则 = f (x)在[0,+)上连续,且(0,+)可导，f (x) 0, 在[0,+)上单调增加； f (0) = 0, 当x 0时， x − ln(1 + x) 0, 即 x ln(1+ x). 注意:区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性. 例如, , 3 y = x 0, y x=0 = 但在(−,+)上单调增加. f (x) f (0)
单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要应用 定理中的区间换成其它有限或无限区间,结论 仍然成立 应用:利用函数的单调性可以确定某些方程实 根的个数和证明不等式
三、小结 单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要应用. 定理中的区间换成其它有限或无限区间，结论 仍然成立. 应用：利用函数的单调性可以确定某些方程实 根的个数和证明不等式
思考题 若∫'(0)>0,是否能断定f(x)在原点的 充分小的邻域内单调递增?
思考题 若 f (0) 0，是否能断定f (x) 在原点的 充分小的邻域内单调递增？