第一章度与不动点 判定各种非线性方程的可解性,一直是非线性分析的主要课 题之一早在经典分析中,人们就发现在一定条件下,方程的解的 某种“代数个数”不因方程的连续变形而改变.这一被广泛注意到 的事实引发了各种“扰动方法”的研究,这类研究最终导向更深刻 的问题:能否用某种拓扑不变量来刻划方程解的“代数个数”?度理 论因此而诞生.如人们所预期的,这一辉煌的理论将方程可解性的 判定归结为一种拓扑不变量—度的计算 本章给出度理论的梗概及其某些应用 §1非紧测度 本章所述的度理论本质上依赖于一定的性条件,因此,必 须对点集与映射的紧性作某种较精细的、“定量的”考察. 给定ACX.如所熟知,A相对紧当且仅当A有由直径充分小 的集组成的有限看益如果将“直径充分小”换成“直径充分接近于 a”而数a≥0需要有一定选择余地,那么就得到由a量度的放 寬了的“紧性”概念.准确地说,我们称 a(A)Ainf{>0:3A1,…,A.CX,AcbA1, diana;≤8} (1) 为A的非紧测度.实际上,a(A)食度了“A对紧集的离”:a(A) 食小,A食按近于;A相对紧→a(A)=0,若A无界,则约定 a(A)=∞. 11.1命题非紧测度a()有以下性质:(i)a(A)<P→存 在有限分解A=UA;: dianA<P.(i)ACB→a(A)≤a(B); a(UA)=maxa(A).(i)a(λA)=1A1a(A);a∑;A)≤
(Ai.(iv)a(A)=a(coA) 证(i)~(i)的证明是直接的.对于(iv)只需证a(coA)≤ a(A),可设a△ dianaδ,于是AqB(x),因而彐z∈A\B(x),这推出x∈coA CB;(z),与z∈B(x)矛盾,任给A的覆盖{A1:1≤i≤n},今证 a(coA)≤ maxdiam a,可设A凸(否则以coA1代A1),且只需证 a(co(UA;))≤maxa(A).不妨设∪ACB1(0):r>0,n=2.VE> 0,取分点0=t0,存在t的邻域V,￥s∈V,x∈ A:|x(s)-x(t)|<e),则说A等度连续.若g:T×D→Y,DCx
{y·,x):x∈D}等度连续,则说(·,x)关于x∈D一致地连续 1.14定理设ACC(T,x),则a(A(T))≤2a(A);当A等 度连续时t+a(A())连续,且 (A)= maxa(A(t))=a(A(T)) (2) 证￥ε>0,取分解A=U1A1;使 diana;0,由A等度连续有分解T=∪rT,与t,∈T,使 x()-x(t)<ε(x∈A,t∈T,1≤j≤m).因a(UA(t)≤,故 有MCX(1≤k≤q),使UA(t)=UM,damM4<H+E.任给K k1,…,km}{1,…,q},令A={x∈A:x(t)∈Mk(1≤jm)}, 则 dianA≤+3e,A=∪Ax.于是a(A)≤H+3E,令E0得a(A) ≤p.显然≤a(A(T)).设A依上段,则A(T)cUA1(t)+ B(0),这推出 a(A(T))≤ maxdiamA(t;)+28≤aA)+3e 令E↓0得a(A(T))≤a(A),于是(2)式得证. 由1.1.4直接推出:若A等度连续,则A相对紧兮→yt∈T: A(t)相对紧.因此可以说,1.].4是著名的 Arzela-ascoli定理 [75;1.35]的推广 将1.14用于A={y(·,x):x∈D}得出: 11.5推论设DCX,9:T×D→Y,g·,x)关于x∈D一致 地连续,则a(g(T×D))=maxa(yt,D)) 以下设(T,P是一测度空间在 Lebesgue空间L(T,X)中解 3
决类似于1.1.4的问题是更困难的.下面给出几个较简单的结果 记S d ∈A 1.1.6命题设AT0.取 定x∈A,今证()-4xdk∈coA(T).Vc>0,取可数值函数y Sax, u(T\To)=0,To=Ue, Ix(t)-y(r)|0:3x1,x2…,xn∈X,AcUB2(x:)}(3) 为A的“球非紧测崖.B具有类似于a的性质,且 R(A)≤a(A)≤2(A 1】7引還设K=8pan{a1,a },X={an:n≥1},A xnin≥1}CX则(A)= lim limd(xm,Xn) 4
明是直接的 1.18定理( Heinz,1983[68])设A={x:n≥1}C(T, X)一致可积,即彐g∈D(T),n≥1:{x()≤g(t)则 a(SA)≤2R(A()d,d记d(t) 证因每个x几乎可分值[75:3.22}不妨设X可分,令X an;n≥1},X,=span{(a1,a2,…,a,},用1.1.7及Lev定理与 Fatou定理得 a(S)0:{Fx-Fy|≤blx-y|(Vx,y∈D)}(1) 刻划了F的“度量压缩性F是 Lipschitz映射(本书中简写作“F 为Iip”)0: a(FA)s ka(A)(y A CD) 称a(F)为F的“非紧测皮”.与前述的“ Lipschitz概念”相对应,约 5
定F是 a-lipschitz映射F连续.可见全连续 更不必说集压缩映射概念本质上是为无限维空间中的映射而设 的 a(·)的以下性质虽然简单但很有用, 1.22命题(i)a(FA)≤Q(F)a(A)(AcD).(i)半范性: a(F+G)≤a(F)+a(G),a(F)=|Aa(F).(i)次乘法性:a(G F)≤a(G)a(F)以上假定F+G,G。F有意义.(iv)a(F)≤LipF 对于T∈L(X,Y);由1.2.2(iv)有a(T)≤LipT=|Tl;T是 紧线性算子→(T=0.约定CL(X)={T∈L(X):a(T)=0}. 1.23命题若x∈D°,T=F(x),或T=F(∞)(这意味着 T∈L(x,Y),当|x|→∞时Fx有定义且|Fx-Tx=o(|x),则 a()≤a(F).特别,当F全连续时T是紧线性算子 证首先设T=F(x),x∈D,VE>0,取b>0,使当|h|≤♂ 时|AF(x,h)-Th≤Eh|.任给有界集ACx,取r>0:AC B(0),则r-4δACB(0),于是 7(4c(x+1-Fz+B(0 a(TA)≤ x+Al+2Ed (F4+)+2c=(F(+2 令ε￥0得a(TA)≤a(F)a(A),因此a(T)≤a(F) 其次设T=F(∞).VE>0,取p>0,使当|x|≥P时Fx-Tx
≤E|x|.仍设ACB,(0),令A'=A∩Bn(0),A"=A\A.显然 a(TA)≤2|T|e.由“x∈pE1A"→|x|≥P”得T(Pe1A")c F(pe-A")+Bm(0),于是 a(TA)≤a(F|2A"+2 ≤a(F)a(A)+2re 因此a(TA)≤a(F)a(A)+2e(r+|T|),这同样得出所要证.口 I.2.4命题设F=-f:D→X是集压缩的,D是有界闭 集,KCX紧,ACD闭,则∫K紧而fA闭 证若C仝∫K非紧,则a(C)>0,这与CCFC+K一起推 出a(C)≤a(FC)0,取δ>0:F(D∩ B3(a)cB2(Fa).x∈D∩B(a),设x∈Ua, x-a|≤|x-z|+|z-x|+δ<4.+8<56, 从而Fx∈B1(Fa).于是依(3)有Fx∈B1(Fa),因此FB(a)C
B Fa) (i)令B=B(0),D2=DUB,不妨设D∩B1≠.由已证之 (i),F|D∩B1有扩张F1∈C(X,Y):F1 XCcOF(D∩B1)依F1|D F,F1B1=F1B1定义出F的扩张F1;D1→Y,F1D2 CECoFD,F1 全连续.同理,F1有全连续扩张F2:D2→Y,F2D2Cc0F1D1C coFD…如此得一序列{Fn}.依F|Bn=Fn|Bn(n=1,2,…)定义 的F:x→Y即合所求 ii)若存在从X到D的收缩P(即P∈C(x,D),P|D=id), 使得(P)≤1,则F=FP显然合于要求对D=B(x。),取P为 径向收縮,即当x∈D时令Px=x十r(x-x0)/|x-xo|, 面量PD=id.因对任给ACX有 PACco(AU{x}),故a(PA) ≤a(A),因此a(P)≤1.若X是 Hilbert空间而D闭凸,则5.11.2 将指明有收缩P:X→D满足IpP≤1 1,2,6最近定理设DCX有界,F:D→Y为紧映射.则e >0,3G∈C(D,Y): dispan(D)<∞且|F-G1≤e(约定|F sUp|Fx|,本书概如此). 证由FD相对紧有有限集{y}CY,使 FDCUB2(y;).令 9(x)=d(Fx,Y\B2(y)),定义 x=29(x)y/∑9(x),x∈D (可与(3)对照)显然G∈C(D,Y),ω DCspan{y}令A= 9/∑9则∑入=1;对任给x∈D有 Fx-Gx|≤∑入(x)|Fx 约定J=[0,1].称任何H∈C(×D,Y)为同伦;若H是紧映 射则称H为紧同伦;若有k<1,使对任给ACD有a(H(J×A) ≤a(A),则称H为SC-同伦对于一个同伦H(,x),通常以H2 记H(t,·),并说H是从H到H1的同伦.同伦的意义在于,若 某个与映射有关的量q“同伦不变”,则可利用等式q(H)=q(H1)
来简化q(H或q(H)的计算.这一思想在本章有本质意义 1、27命题设DCX,H:J×D→Y.(i)若H(,·)连续, H(·,x)关于x∈D一致地连续,a(H≤k0,则 a(A)≤a(H(×A))<a(A),得出矛盾.因此a(A)=0,故不妨设 x,x∈S,于是y=h(t,x)∈h(×S),h(×S)是闭的 1.28推论设DCX有界,F,G:D→Y是集压缩驶射,则 H,AtF+tG(∈刀是从F到G的SC-同伦 注对于同伦限定参数t∈J并无本质意义,今后将依需要自 由地以其它紧区间取代J §3拓扑度 现在进入本章主要课题—一度理论的讨论简要说来,度理论 的目标是,构成一个称为度的整值函数d(·,·,·),使对任给有 界开集ΩCX,F=Ⅰ一f∈SC()y∈Xf(a),d(f,,y)有定义 且表出方程∫(x)=y在D内的解的某种“代数个数”.这一问题经 历了长久的探索之后终获解决,其详细解答颇不简单,但其最终结 论倒极明了且令人深患满意,鉴于对度的构成已有极完善的表述 (参看[34,43,55,202]),本书避繁就简,以直接陈述度的基本性质 作为出发点,演华地展开度的基本理论,以期尽快达到较深入的可 用结论,这一选择不免留下一些缺憾,但似乎足以使主要关心度的 应用的读者满足因此,让我们直接面对不加证明地使用的以下结 论 9
1.3.1定理存在唯一整值函数d(·,·,·),使对任给有 界开集ΩCX,F=I-∫∈SC(),y∈X\f(a0),d(f,n,y)有定 义,且有性质:(D1)单位性:d(I,a,y)=1(yy∈9);(D2)可加性 若(1≤i≤n)是的互不相交开子集,y∈XVf(U)则 d(f,,y)=>d(f,,y);(D3)同伦不变性:若H:J×n→x 是SC同伦,y∈C(J,X),y(t)E(I-H1)(a2)(t∈J),则d(I一 H4,,y(t))与t无关 称1.31中的函数d(亦写作deg)为度或拓扑度.若限定F∈ 或Ⅹ=R",则相应的度分别称为 Leray- Schauder度(简称LS 度)与 Brouwer度 (D3)是最重要的度性质,它表明d(f,B,y)不因f,y的“连续 变形”而改变.(D2)则表明可通过适当“分割”口来计算d(f,, y).利用D1)~(D3)适当地改变∫,,y,有可能简化度的计算 由(D1)~(D2)可推得度的一些更进一步的性质 1.3.2推论度d(·,·,·)有以下性质:(D4)切除性:若 Ca闭,y∈XV(AUa),则d(f,D,y)=d(f,2\A,y);d(f,, y)≠0→f1(y)≠.(D)若y∈X[f(x,),g(x)](x∈a2)(特 别,若」Fx-Gx<|y-f(x)(vx∈a2)或F|a=Gla,y∈X f(a2)),则d(f,Q,y)=d(g,,y).(D6)归约性质:若FcYc X,Y是闭子空间,y∈Y(a2),则d(,,y)=d(f,Y∩,y)(右 端的∫理解为∫Y∩2).(D2)d(f,Ω,·)在X√f(a)的各分支内 取常值在无界分支内为零.以上F=l—∫∈SC(),G=1-g∈ SC(2). 证直接用(D2)推出(D4)取H4=tF+tG(参考1.2.8)从 (D3)推出(D3)因fa2)闭(1.2.4),故V仝X√f(a)开,从而v的 任一分支P为路连通开集[75;1.4.3],据此易从(D3)推出d(f, ,·)在P内为常数若P无界,则必y∈P\(注意f2有 界!),于是由①D4)有d(f,2,y)=0.这证得(Dn).至于(D),尽管 10