《线性代数》第二章 矩阵（2.1.2.2）矩阵概念、矩阵的基本运算

第二章矩阵 矩阵概念 矩阵的基本运算 逆矩阵 四.矩阵的分块 五.初等变换与初等矩阵

1 第二章 矩 阵 一. 矩阵概念 二. 矩阵的基本运算 三. 逆矩阵 四. 矩阵的分块 五. 初等变换与初等矩阵

矩阵的定义 矩阵概念 2.特殊矩阵 1.矩阵的定义 3.矩阵的应用实例 由m×n个数an(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n) 排成的m行n列的数表,称为m行n列矩阵 简称m×n矩阵. n 记作4_a143 2简记为4 nxn 或A nxn 2 2

2 一 . 矩阵概念 1. 矩阵的定义 2. 特殊矩阵 3. 矩阵的应用实例 1. 矩阵的定义               = m m mn n n a a a a a a a a a A      1 2 21 22 2 11 12 1 记作 简记为 ( )ij m n A a  = A mn 或 m n a (i 1,2, ,m; j 1,2, ,n) 由  个数 ij =  =  排成的m行n列的数表，称为m行n列矩阵. 简称mn矩阵

实矩阵:元素是实数 复矩阵:元素是复数 例如: 1035 是一个2×4实矩阵, 1362i 222是一个3×3复矩阵 222

3 实矩阵: 元素是实数 复矩阵： 元素是复数 例如：       − 9 6 4 3 1 0 3 5 是一个 24 实矩阵,           2 2 2 2 2 2 13 6 2i 是一个 33 复矩阵

235 9) 是一个1×4矩阵, 是一个3x1矩阵,(4) 是一个1×1矩阵 问题:试写出4×5矩阵A,其元素an=2i-j 10-1-2-3 3210-1 5432 76543

4 (2 3 5 9) 是一个 14 矩阵, (4) 是一个 11 矩阵. A a i j 问题：试写出 4 5 矩阵 ，其元素 ij = 2 −           4 2 1 是一个 31 矩阵,               − − − − = 7 6 5 4 3 5 4 3 2 1 3 2 1 0 1 1 0 1 2 3 A

些特殊的矩阵(对A4型矩阵) 零矩阵( Zero matrix): 元素全为零的矩阵称为零矩阵, mxn零矩阵记作0mx或O 注意:不同阶数的零矩阵是不相等的 例如:(0000 0000 ≠(0000 0000 0000

5 2. 一些特殊的矩阵 零矩阵(Zero Matrix): (对 型矩阵) A mn 注意： (0 0 0 0). 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0                不同阶数的零矩阵是不相等的. 例如： 元素全为零的矩阵称为零矩阵， mn 零矩阵记作 omn 或 o

行矩阵( Row matri):有一行的矩阵A=(a1,a2,…,an) 称为行矩阵(或行向量) 列矩阵( Column matrix):只有一列的矩阵B L 称为列矩阵(或列向量) 方阵( Square matrix):行数与列数都等于n的矩阵, 称为n阶方阵也可记作An 1362i 例如: 222是一个3阶方阵 222

6 行矩阵(Row Matrix): 列矩阵(Column Matrix): 方阵(Square Matrix): 只有一行的矩阵 ( , , , ), A = a1 a2  an 称为行矩阵(或行向量). , 2 1               = an a a B  只有一列的矩阵 称为列矩阵(或列向量). 例如：           2 2 2 2 2 2 13 6 2i 是一个 3 阶方阵. 行数与列数都等于 的矩阵， 称为 阶 n n . 方阵 An .也可记作

对角阵( Diagonal matrix) 方阵,主对角元素不全为零,非主对角元素都为零。 A=diag( 2 数量矩阵( Scalar matrix): 方阵,主对角元素全为非零常数k,其余元素全为零

7 对角阵(Diagonal Matrix): 方阵，主对角元素不全为零，非主对角元素都为零。                = = n n a a a diag a a a   2 1 1 2 ( , , ) 数量矩阵(Scalar Matrix): n n n k k k kE                =  方阵，主对角元素全为非零常数k，其余元素全为零

单位矩阵( Identity matrix) 方阵,主对角元素全为1,其余元素都为零。 记作:E或EE 行列式与矩阵的区别: 1.一个是算式,一个是数表 2.一个行列数相同,一个行列数可不同 3.对n阶方阵可求它的行列式记为:4

8 单位矩阵(Identity Matrix): n n En                = 1 1 1  记作: 行列式与矩阵的区别: 1. 一个是算式 ，一个是数表 2. 一个行列数相同 , 一个行列数可不同. 3. 对 n 阶方阵可求它的行列式. 记为: A 方阵，主对角元素全为1，其余元素都为零。 E n 或 E

3.矩阵的应用实例 例1:(通路矩阵) a省两个城市a1,42和b省三个城市b,b2,b23 的交通联结情况如图。每条线上的数字表示联结该两城 市的不同通路总数.由该图提供的通路信息,可用矩阵形 式表示,称之为通路矩阵

9 3. 矩阵的应用实例 a 省两个城市 1 2 a ,a 和 例1：(通路矩阵) b 省三个城市 1 2 3 b ,b ,b 的交通联结情况如图。每条线上的数字表示联结该两城 市的不同通路总数.由该图提供的通路信息,可用矩阵形 式表示,称之为通路矩阵.           3 2 1 2 4 0 a1 a2 1 b b2 3 b

例2:(价格矩阵) 四种食品(Food)在三家商店(Shop)中,单位 量的售价(以某种货币单位计)可用以下矩阵给出 F F2 F3 F4 1771121S 1591319S 1881519)S

10 例2：(价格矩阵) 四种食品(Food)在三家商店(Shop)中,单位 量的售价(以某种货币单位计)可用以下矩阵给出           18 8 15 19 15 9 13 19 17 7 11 21 F1 F2 F3 F4 S1 S2 3 S