●教学目标 1.掌握双曲线的几何性质 2.能通过双曲线的标准方程确定双曲线的顶点、实虚半轴、焦点、离心率、渐近线方程 ●教学重点 双曲线的几何性质 ●教学难点 双曲线的渐近线 ●教学方法 学导式 ●教具准备 幻灯片、三角板 ●教学过程 复习回顾 师:上一节,我们学习了双曲线的标准方程,这一节,我们要根据它来研究双曲线的几何性质同学们 以按照研究椭圆几何性质的方法和步骤,自己推出双曲线的几何性质,然后与课文对照,所以,我们来 回顾一下研究椭圆的几何性质的方法与步骤。(略) IL讲授新课 1.范围: 双曲线在不等式x≥a与x≤-a所表示的区域内 2.对称性 双曲线关于每个坐标轴和原点都对称,这时,坐标轴是双曲线的对称轴,原点是双曲线的对称中心 双曲线的对称中心叫双曲线中心 3.顶点: 双曲线和它的对称轴有两个交点A1(-a,0)、A2(a0),它们叫做双曲线的顶 线段AM2叫双曲线的实轴,它的长等于2aa叫做双曲线的实半轴长:线段 B1B2叫双曲线的虚轴,它的长等于2b,b叫做双曲线的虚半轴长 4渐近线 ①我们把两条直线y=±bx叫做双曲线的渐近线: ②从图8-16可以看出,双曲线 x2y2=1的各支向外延伸时,与直线 y=±-x逐渐接近 ③“渐近”的证明: 先取双曲线在第一象限内的部分进行证明这一部分的方程可写为 图8-16 √x 设Mxy)是它上面的点,M(xy)是直线y=-x上与M有相同横坐标的点,则Y=-x
●教学目标 1.掌握双曲线的几何性质 2.能通过双曲线的标准方程确定双曲线的顶点、实虚半轴、焦点、离心率、渐近线方程. ●教学重点 双曲线的几何性质 ●教学难点 双曲线的渐近线 ●教学方法 学导式 ●教具准备 幻灯片、三角板 ●教学过程 I.复习回顾： 师：上一节，我们学习了双曲线的标准方程，这一节，我们要根据它来研究双曲线的几何性质.同学们 可以按照研究椭圆几何性质的方法和步骤，自己推出双曲线的几何性质，然后与课文对照，所以，我们来 回顾一下研究椭圆的几何性质的方法与步骤.（略） II.讲授新课： 1.范围： 双曲线在不等式 x≥a 与 x≤－a 所表示的区域内. 2.对称性： 双曲线关于每个坐标轴和原点都对称，这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心， 双曲线的对称中心叫双曲线中心. 3.顶点： 双曲线和它的对称轴有两个交点 A1(－a,0)、A2(a,0)，它们叫做双曲线的顶 点. 线段 A1A2 叫双曲线的实轴，它的长等于 2a,a 叫做双曲线的实半轴长；线段 B1B2 叫双曲线的虚轴，它的长等于 2b,b 叫做双曲线的虚半轴长. 4.渐近线 ①我们把两条直线 y=± x a b 叫做双曲线的渐近线； ②从图 8—16 可以看出，双曲线 1 2 2 2 2 − = b y a x 的各支向外延伸时，与直线 y=± x a b 逐渐接近. ③“渐近”的证明： 先取双曲线在第一象限内的部分进行证明. 这一部分的方程可写为 y= x a x a b ( 2 2 − >a). 设 M(x,y)是它上面的点，N(x,y)是直线 y= x a b 上与 M 有相同横坐标的点，则 Y= x a b . ∵y= x Y a b x a x a b x a a b − = − = 2 2 2 1 ( )
b ∴|MN=-y==(x-Vx2-a2) b(x-√x2-a2)x+√x2-a2) 设MD是点M到直线yx的距离,则O|N,当x逐渐增大时,AN逐渐减小,x无限增 大,MN接近于O,MO也接近于O就是说,双曲线在第一象限的部分从射线ON的下方逐渐接近于射 线ON 在其他象限内,也可证明类似的情况 (上述内容用幻灯片给出) ④等轴双曲线 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线 ⑤利用双曲线的渐近线,可以帮助我们较准确地画出双曲线的草图具体做法是:画出双曲线的渐近 线,先确定双曲线顶点及第一象限内任意一点的位置,然后过这两点并根据双曲线在第一象限内从渐近线 的下方逐渐接近渐近线的特点画出双曲线的一部分,最后利用双曲线的对称性画出完整的双曲线 双曲线的焦距与实轴长的比e=C,叫双曲线的离心率 说明:①由c>a>0可得e>1 ②双曲线的离心率越大,它的开口越阔 师:为使大家进一步熟悉双曲线的几何性质,我们来看下面的例题 例1求双曲线9y2-16x2=144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程 解:把方程化为标准方程 由此可知,实半轴长a=4,虚半轴长b=3 焦点的坐标是(0,-5),(0,5) 离心率e=C_5 a 4 渐近线方程为 x=±y,即y=±x 说明:此题要求学生认识到第二种形式的标准方程所对应的双曲线性质与课本性质的相同点与不同点 可让学生比较得出(作为练习) I课堂练习:
∴ ( ) 2 2 x x a a b MN = Y − y = − − 2 2 2 2 2 2 ( )( ) x x a x x a x x a a b + − − − + − = 2 2 x x a ab + − = 设 MQ 是点 M 到直线 y= x a b 的距离，则 MQ a>0 可得 e>1； ②双曲线的离心率越大，它的开口越阔. 师：为使大家进一步熟悉双曲线的几何性质，我们来看下面的例题. 例 1 求双曲线 9y 2－16x 2=144 的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程. 解：把方程化为标准方程. 1 4 3 2 2 2 2 − = y x . 由此可知，实半轴长 a=4，虚半轴长 b=3. 4 3 5 2 2 2 2 c = a + b = + = . 焦点的坐标是（0，－5），（0，5）. 离心率 4 5 = = a c e . 渐近线方程为 x y 4 3 = ，即 y x 3 4 = . 说明：此题要求学生认识到第二种形式的标准方程所对应的双曲线性质与课本性质的相同点与不同点. 可让学生比较得出（作为练习）. III.课堂练习：
(1)写出第二种形式的标准方程所对应的双曲线性质 (2)课本P13练习1. ●课堂小结 师:通过本节学习,要求大家熟悉并掌握双曲线的几何性质,尤其是双曲线的渐近线方程及其“渐近” 性质的证明,并能简单应用双曲线的几何性质 ●课后作业 习题8.41、5、6. ●板书设计 §8.4.1 1.范围4渐近线5离心率 练习1 2对称性② 例1 3顶点 (3)… ●教学后记
（1）写出第二种形式的标准方程所对应的双曲线性质. （2）课本 P113 练习 1. ●课堂小结 师：通过本节学习，要求大家熟悉并掌握双曲线的几何性质，尤其是双曲线的渐近线方程及其“渐近” 性质的证明，并能简单应用双曲线的几何性质. ●课后作业 习题 8.4 1、5、6. ●板书设计 §8.4.1 …… 1.范围 4.渐近线 5.离心率 练习 1 ①… … （1）… 2.对称性 ②… ③… 例 1… （2）… ④ 3.顶点 ⑤ (3)… ●教学后记
