实线性空间中二向量的内积的定义;具有内积的实线性空间称为欧几里得空间(简称欧 氏空间); 欧氏空间中向量的长度、单位向量的定义; 柯西一布尼雅可夫斯基不等式;二向量的夹角的定义,二向量正交的的定义; 有限维的欧氏空间的一组基的度量矩阵的定义; 标准正交基的定义 正交矩阵的定义;正交矩阵的等价表述(两组标准正交基间的过度矩阵); 标准正交基的求法(施密特正交化方法) 欧氏空间空间的子空间的正交补的定义(子空间的W的正交补记为W-); 命题设W是n维欧氏空间V的子空间,则V=WW 推论n维欧氏空间V中的任一两两正交的单位向量组都可以扩充为V的标准正交基:; 欧氏空间同构映射与同构的定义; (第六章§2) 正交变换的定义; 正交变换的四个等价表述; 命题n维欧氏空间上的正交变换的全体(关于映射的复合)构成群,称为n维正交变 换群,记为O(n) 平行地,n阶正交矩阵的全体(对于矩阵的乘法)构成群,称为n阶正交群,也记为O(m) 第一、二类正交变换的概念: 第三周 (第六章§2 命题正交矩阵的特征多项式的根的绝对值等于1 推论正交矩阵的特征值只能是±1 命题设A是n维欧氏空间V上的正交变换,若A的特征多项式有一个根 1=e=cosq+isnp,则在V内存在互相正交的单位向量n,n2,使得 An1=cosq·-snq12, An2=snq·n1+ cos pn2 命题n维欧氏空间上的正交变换的不变子空间的正交补仍是不变子空间 定理设A是n维欧氏空间V上的正交变换,则A在V的某组标准正交基下的矩阵呈准 对角形,其主对角线由±1和如下的二阶子阵组成:实线性空间中二向量的内积的定义；具有内积的实线性空间称为欧几里得空间（简称欧 氏空间）； 欧氏空间中向量的长度、单位向量的定义； 柯西—布尼雅可夫斯基不等式；二向量的夹角的定义，二向量正交的的定义； 有限维的欧氏空间的一组基的度量矩阵的定义； 标准正交基的定义； 正交矩阵的定义；正交矩阵的等价表述（两组标准正交基间的过度矩阵）； 标准正交基的求法（施密特正交化方法）。 欧氏空间空间的子空间的正交补的定义（子空间的 W 的正交补记为 ⊥ W ）； 命题 设 W 是 n 维欧氏空间 V 的子空间，则 ⊥ V =W  W ； 推论 n 维欧氏空间 V 中的任一两两正交的单位向量组都可以扩充为 V 的标准正交基； 欧氏空间同构映射与同构的定义； （第六章 §2） 正交变换的定义； 正交变换的四个等价表述； 命题 n 维欧氏空间上的正交变换的全体（关于映射的复合）构成群，称为 n 维正交变 换群，记为 O (n) . 平行地， n 阶正交矩阵的全体（对于矩阵的乘法）构成群，称为 n 阶正交群，也记为 O (n) . 第一、 二类正交变换的概念； 第三周： （第六章 §2） 命题 正交矩阵的特征多项式的根的绝对值等于 1. 推论 正交矩阵的特征值只能是  1. 命题 设 A 是 n 维欧氏空间 V 上的正交变换，若 A 的特征多项式有一个根 0 = e i = cos + isin  ，则在 V 内存在互相正交的单位向量 1 2  , ，使得 A cos sin , 1  1  2 =  −  A sin cos . 2  1  2 =  +  命题 n 维欧氏空间上的正交变换的不变子空间的正交补仍是不变子空间. 定理 设 A 是 n 维欧氏空间 V 上的正交变换，则 A 在 V 的某组标准正交基下的矩阵呈准 对角形，其主对角线由  1 和如下的二阶子阵组成：