对称双线性函数与二次型函数一一对应 定理数域K上的n维线性空间V上的双线性函数的矩阵必合同于对角阵 (第五章§1) 数域上的二次型的定义,二次型∫对应的二次型函数Q(a)的定义:二次型的矩阵和 秩的定义; 定理数域K上的n元二次型在可逆变数替换下可以化为只有平方项的标准形 二次型化为标准形的计算方法(配方法)。 第十六、十七周 复习与期末考试。 第二学期 第一周: (第五章§3) 定理复数域上的任一二次型∫在可逆变数替换下都可化为规范形 其中r是∫的秩.复二次型的规范形是唯一的 定理实数域上的任一二次型∫在可逆变数替换下都可化为规范形 其中正平方项的个数p称为∫的正惯性指数,负平方项的个数q称为∫的负惯性指数 (p-q称为∫的符号差),p+q是∫的秩实二次型的规范形是唯一的 正惯性指数等于变元个数的实二次型称为正定二次型 正定二次型的(实对称)矩阵称为正定矩阵; 方阵的顺序主子式的定义; 定理设∫是实二次型,则下述四条等价: (i)f正定 (ii)∫的矩阵A=T'T,其中T为可逆阵; (ii)f对应的二次型函数Q(a)>0(a∈R",a≠0); (iv)f的矩阵的所有顺序主子式都大于0 半正定二次型、负定二次型、半负定二次型、不定二次型的定义 第二周: (第六章§1)对称双线性函数与二次型函数一一对应； 定理 数域 K 上的 n 维线性空间 V 上的双线性函数的矩阵必合同于对角阵. （第五章 §1） 数域上的二次型的定义，二次型 f 对应的二次型函数 () Qf 的定义；二次型的矩阵和 秩的定义； 定理 数域 K 上的 n 元二次型在可逆变数替换下可以化为只有平方项的标准形. 二次型化为标准形的计算方法（配方法）。 第十六、十七周： 复习与期末考试。 第二学期 第一周： （第五章 §3） 定理 复数域上的任一二次型 f 在可逆变数替换下都可化为规范形 , 2 2 1 r z ++ z 其中 r 是 f 的秩. 复二次型的规范形是唯一的. 定理 实数域上的任一二次型 f 在可逆变数替换下都可化为规范形 , 2 2 1 2 2 1 p p p q z z z z ++ − + −− + 其中正平方项的个数 p 称为 f 的正惯性指数，负平方项的个数 q 称为 f 的负惯性指数 （ p − q 称为 f 的符号差）， p + q 是 f 的秩. 实二次型的规范形是唯一的. 正惯性指数等于变元个数的实二次型称为正定二次型； 正定二次型的（实对称）矩阵称为正定矩阵； 方阵的顺序主子式的定义； 定理 设 f 是实二次型，则下述四条等价： （i） f 正定； （ii） f 的矩阵 A = T T ，其中 T 为可逆阵； （iii） f 对应的二次型函数 Qf ()  0 (  R ,  0) n ; （iv） f 的矩阵的所有顺序主子式都大于 0. 半正定二次型、负定二次型、半负定二次型、不定二次型的定义。 第二周： （第六章 §1）