用B(x),A(x)分别去除(带余)p(x)(x),(x)p(x) P(x)op(x)=B(x)q, (x)+r(x) p(x)p(x)=A(x)q2(x)+r2(x) 其中(x)∈Pm=,12(x)∈P-,分别为m-,n-v次多项式 将(1.10)代入(1.9)有 d(x)=A(x)B(x)q (x)+A(x)B(x)q2(x) +A(x)1(x)+B(x)2(x) =B(x){4(x)q1(x)+q2(x)+r2(x)}+A(x)1(x) =B(x)·u(x)+A(x)·v(x), 其中u(x),v(x)为次数不高于n,m的多项式 作有理分式 B(x)2(x)-@v(x) A(x)Q2(x)+ou(x) 于是 P(x)-o(x) B(x) B(x)22(x)-ov(x) A(x) A(x)Q2(x)+ou(x) o[B(xu(x)+A(x)v(x) A(xLA(x)Q2(x)+ou(x) p(x) A(xLA(x)Q2(x)+ou(x) 因为 f(x)-Q(x)=[f(x)-P(x)]+[P(x)-Q(x If(x)-P(x)] 0D(x) (1.11 A(x)[4(x)g2(x)+Ol(x)用 B(x)， A(x) 分别去除（带余） (x)(x),(x)(x) ： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 x x A x q x r x x x B x q x r x  = +  = +   （1.10） 其中  Pm− r (x) 1 ，  Pn− r (x) 2 分别为 m − ,n − 次多项式. 将（1.10）代入（1.9）有 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2  x = A x B x q x + A x B x q x ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 + A x r x + B x r x ( ){ ( )[ ( ) ( )] ( )} ( ) ( ) 1 2 2 1 = B x A x q x + q x + r x + A x r x = B(x)u(x) + A(x) v(x)， 其中 u(x), v(x) 为次数不高于 n,m 的多项式. 作有理分式 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A x x u x B x x v x Q x    +  − = . 于是 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A x x u x B x x v x A x B x P x Q x    +  − − = − ( )[ ( ) ( ) ( )] ( ) ( )[ ( ) ( ) ( )] [ ( ) ( ) ( ) ( )] A x A x x u x x A x A x x u x B x u x A x v x      +  =  + + = 因为 f (x) − Q(x) = [ f (x) − P(x)] +[P(x) − Q(x)] = [ f (x) − P(x)] + ( )[ ( ) ( ) ( )] ( ) A x A x x u x x    +  ， （1.11）