4)→1)设81,82,…,εn是V的标准正交基,且A 在此基下的矩阵A为正交矩阵 由(As1,Aa2,…,AEn)=(81,82 En)A,知A,A2,…,Acn也是V的标准正交基, 设a=x181+x282+…,+xn1B=y;E1+y2e2+…,+yEn 则 Aa=x, Ae +.+x As Aβ=y1Ae1+y2A2+…+ynAE (Aa, AB)=Xy1+x2y2+.tx y (a, B)=X,y1+X2y2+.tony 所以(Aα,AB)=(a,β),故A为正交变换4)1）设1，2，…，n是V的标准正交基,且A 在此基下的矩阵A为正交矩阵. 由(A1，A2，…，An)= (1， 2，…， n)A,知A1，A2，…，An也是V的标准正交基, 设=x1 1+x2 2+…+xn n,=y1 1+y2 2+…+yn n, 则 A=x1A1+x2A2+…+xnAn A=y1A1+y2A2+…+ynAn (A,A)= x1y1+x2y2+…+xnyn (,)= x1y1+x2y2+…+xnyn 所以 (A，A)=(，),故A为正交变换