·216· 北京科技大学学报 1996年No.3 构造：从1条直线段开始，每次去掉其中间的1/3线段， b 构造：从1条四等分折线开始，每一直线段三等分，将中间 的一段换成母图形，形成向外侧的1条四等分折线段 图1线分形(a)Cantor“尘”；(b)Koch曲线) 分形几何学不同于经典几何学的最大特点在于分形图形的维数可以是分数（经典几何学 中的维数一定为整数)·分数维是联系自相似结构的线度与广义体积间测量关系的纲量为1 的量，选取测量单位I,则R=为测量系统的线度.在线度R内分形结构所具有的广义 体积为： ViRR+ (1) 对于有规自相似结构，若系统线度增大b-倍，则相应的广义体积V增大N=b倍，因而有： d=log N/og (1/b) 此处，d定义为分形的维数（简称分维）. 一般而言，分形维数严格大于它相应的拓扑维数.由公式(1)可以推算出图1中Cantor “尘"的分维数d=0.6309(其拓扑维数d=0),Koch曲线的分维d=1.2618(其拓扑维d=1). 从公式(1)中可以看出，标尺愈小，其反映的分形图形的细节也就愈多；反之，标尺 愈大、反映的细节越小，但自然界中的自相似的层次不是无穷的，只是在一定的尺度范围内 存在，即存在上、下截止标尺尺度，超出了此范围、分形现象也就不再存在， 2滚动轴承振动信号中的分形 滚动轴承的间隙是其主要的技术状况参数之一·由于磨损等原因，间隙会不断扩大·所 以以滚动轴承为研究对象，采集其在不同间隙、不同工况下的振动信号、计算分维的大小， 并观察其与轴承间隙有无显著的关系· 2.1时域波形的自相似性 在不同的采样频率下，采集滚动轴承的振动信号（时域波形序列），如图2所示， 从图2可以看出，采样频率较高的信号序列变化趋势类似于频率较低的波形信号，说明 轴承的时域波形具有自相似性（当然不是数学意义上严格的自相似），因此用分形来描述其 时间序列的不规则度是可行的， 2.2时域序列的分维 测得的振动时域序列是单变量的，原则上振动的信号是物理系统中各种要素相互作用的北 京 科 技 大 学 学 报 1996 年 N b . 3 ( a ) 一 从 1条直线段开始 , 每次去掉其中间的 1 / 3 线段 . 从 1条四等分折线开始 , 每一 直线段三等分 , 将中间 的一段换成母 图形 , 形 成向外侧的 1条四等分折线段 . 图 l 线分形 ( ( a ) C即ot r “ 尘 ” ; ( b ) K o dl 曲线 ) 分形 几何 学不 同于 经典 几何学 的最大 特点在 于分形 图形 的 维数可 以 是分数 ( 经典几何 学 中 的维数 一定 为整 数) . 分 数维是联 系 自相 似结 构 的线度 与 广 义 体积 间测 量 关 系 的 纲量 为 1 的量 . 选 取测 量单 位 l , 则 R 二 l 一 ’ 为测量 系统 的线度 . 在线 度 R 内分 形 结 构 所 具 有 的 广 义 体积 为 : V( : ) 戈 R + “ ( l ) 对于 有 规 自相 似结构 , 若 系 统线度增大 b 一 ’ 倍 , 则相应 的广义体积 V 增大 N 二 b 一 d 倍 , 因而有 : d = l o g N 加 g ( l /b ) 此处 , d 定义 为分 形 的维数 (简 称分 维) [ ’气 一 般而 言 , 分形 维数 严格大 于它 相应 的拓扑 维数 . 由公 式 ( l) 可 以推算出图 1 中 aC n ot r “ 尘 ” 的分 维数 d = .0 6 30 9 ( 其拓 扑维数 d = 0) , oK ch 曲线 的分 维 d = 1 . 2 61 8( 其 拓扑维 d = 1) . 从 公式 ( l) 中可 以 看 出 , 标 尺 愈小 , 其 反映 的分形 图 形 的细 节 也 就 愈 多 ; 反 之 , 标 尺 愈 大 , 反 映的细 节越小 . 但 自然 界 中的 自相 似的层 次不 是无 穷的 , 只是在 一定 的尺度 范围内 存 在 , 即存 在上 、 下 截止 标尺 尺度 , 超 出了此 范 围 , 分形 现 象也就 不再存 在 . 2 滚动轴承振 动 信号 中的分 形 滚 动轴 承 的间隙是 其 主要 的技术状 况参数之一 . 由于磨损 等原 因 , 间隙 会不断扩 大 . 所 以以滚 动轴承 为研 究 对象 , 采集其 在不 同 间隙 、 不同工 况下 的振动 信号 , 计 算 分维 的大小 , 并 观察其 与轴 承 间隙有 无显 著 的关系 . .2 1 时域波形 的 自相似 性 在不 同 的采样 频率 下 , 采集 滚动轴 承的振 动信 号 ( 时域波 形序 列 ) , 如 图 2 所 示 . 从 图 2 可 以 看 出 , 采 样频率 较 高的信号 序列 变化趋 势类 似于频 率 较低 的波 形信 号 , 说 明 轴承 的 时域波 形具 有 自相 似性 ( 当然不 是数学 意义 上严格 的 自相似 ) , 因 此 用分 形 来 描 述 其 时间序列 的不规则度 是 可行 的 . .2 2 时域序 列的分维 测得 的振 动时域 序 列是单变量 的 , 原则上 振动 的信号 是物理 系 统 中各 种要 素相互作用 的