第5期 吕红丽，等：非线性布尔网络系统模糊建模与动态性能分析 ·711· 3.2能观性 应的布尔网络的逻辑映射可简记为 能观性所表示的是输出()反映状态变量 X(t+1)=F(X(t),U(t)) (29) x()的能力，与控制作用没有直接关系。 X()∈D,UdeD" 为了找到能观性矩阵，对于第k个局部模型， 同理式(15)对应的布尔控制网络的逻辑映射 定义一组矩阵集合1：2u∈Ca,i=0,1,2…其表 可简记为 X(t+1)=F(X(),Ut) (30) 达式为 式中X(0∈D,U)∈D"。 2o={H} 21={HB:li=1,2,…,2m} 定理511)设是式(14)的一个不动点，则 (22) X(k)VE≤I(F护×(XO)V),如果存在j>0,使得 2s={HBB…B2,li1,2,…,i,=1,2,…,2m} [I(F)D=0,则称局部模型是能稳定的。 2)设是式(15)的一个不动点，则X)≤ 式中2+)CU2,记s为使之成立的最小正整数。 I(Fy×(X(O)V),如果存在j>0,使得[I(F)=O,则称 从2u中选取矩阵Ta: (To=He 全部模型是能稳定的。其中F=∑4oF。 Tk1=[HB1HB2…HB2J 23) 证明①必要性：如果系统的局部模型是 Tk =[HB B.HiB B2..HB2-B2-] 稳定的，即系统是收敛的，则T步后(T为极短的时 令 间段)，所有的状态收敛到，所以当j>T时成立。 Og=ToTk4…TJ (24) ②充分性：假设存在j>0,使[I(F)]=0成立， 式中0称为系统局部模型式(14)的能观测矩阵。 那么对于任意的X有FX=专，X0∈D。故对任 定理41)设系统局部模型式(14)是能控 意步数1≥j,F(X)=F(F(X)=,得证。 的，那么局部模型式(14)是能观的，当且仅当 同理可证全局模型时系统的稳定性。 Rank(0)=2" (25) 2)设系统全局模型式(14)是能控的，那么全 4实验仿真 局模型式(17)是能观的，当且仅当 Rank(O)=2" 根据第3节介绍的模糊动态布尔网络控制系 (26) 式中0-=之 统，本节选取多输人多输出模糊模型进行非线性 模糊建模及其能控性、能观性分析。 k=1 证明对给定的状态X,可以观测HX,因 R':if z is F1 is F2 x1(t+1)=x2(t)Λ1(t) 为系统是能控的，所以使用不同的控制序列U,可 x2(t+1)=()V2() 以观测HLU,故HLU.LU…LUX是可观测的。 Thenx(t+1)=x(t) 因为s≥k,没有增加之前集合的线性独立的行 y1(t)=x1(t) y2(t)=2(t) 数，线性独立行数对初始状态的辨识是无用的， (31) R2:if z is F2,z is F 只有当0包含所有不同列，即Rank(O)=2时，初始 x1(t+1)=x3(t)A(t) 状态才能辨识，全局模型是能观测的。 x2(t+1)=2(t) 3.3稳定性 Thenxa(t+1)=x1(t)Vx2(t) 对于布尔系统式(8)和布尔控制系统式(9)记 y1(t)=x(t) y2(t=x2(t)V3(t) x=D为它们的状态空间。点X∈X可以表示为 其代数表达式为 X=[x1,2,…,xJ「，逻辑映射F:X→K,逻辑映射形 式为 R if z is F is F2 (t+1)=Lw(t)x() 21=fi(x1,x2,…,xm) Then()=Hx() (32) (27) R2:if z is F2,is F (x(t+1)=Lu(t)x(t) 乙n=fn(x1,X,…,xm） 简记为Z=F(X),X,Z∈X。 Theny(()=Hx() 定义71】逻辑映射F的关联矩阵1F)= 则整个系统模糊状态方程可表示为式(15)，其中 L1=6s[11552266135724685555666657576868] (b)是一个n×n矩阵，定义为 L2=6s[31753175757575753175317586868686 ∫1，(t+1)依赖于x(0) b=0,其他 (28) H1=6[21214343,H2=64[11123334] L=41()L1+42(2)L2,H=41(2)H1+(z)H2 记X=[x,2,…,xJ,F=[f,f方…，fn]T,则式(14)对 41=μF,(31)八μF2(32),42=μF-(31)AμF=(a2)。3.2 能观性 y(t) x(t) 能观性所表示的是输出 反映状态变量 的能力，与控制作用没有直接关系。 Ωki ∈ L2 p×2 n , i = 0, 1, 2··· 为了找到能观性矩阵，对于第 k 个局部模型， 定义一组矩阵集合[13] : 其表 达式为    Ωk0 = {Hk} Ωk1 = {HkBi |i = 1,2,··· ,2 m } . . . Ωks = {HkBi1Bi2 ···Bis |i1,i2,··· ,is = 1,2,··· ,2 m } (22) Ωk(s+1) ⊂ ∪s i=1 Ωi s ∗ Ωki Γki 式中 ，记 为使之成立的最小正整数。 从 中选取矩阵 ：    Γk0 = Hk Γk1 = [HkB1 HkB2 ··· HkB2 m ] T Γk2 = [HkB1 B1HkB1B2 ··· HkB2 m B2 m ] T (23) 令 Ok = [Γk0 Γk1 ··· Γks∗] T (24) 式中 Ok称为系统局部模型式 (14) 的能观测矩阵。 定理 4 1) 设系统局部模型式 (14) 是能控 的，那么局部模型式 (14) 是能观的，当且仅当 Rank(Ok) = 2 n (25) 2) 设系统全局模型式 (14) 是能控的，那么全 局模型式 (17) 是能观的，当且仅当 Rank(O) = 2 n (26) O = ∑N k=1 式中 µk(z)Ok。 X0 HX0 Ui HLUi HLUi1LUi2 ··· LUisX0 s ⩾ k0 O Rank(O) = 2 n 证明[16] 对给定的状态 ，可以观测 ，因 为系统是能控的，所以使用不同的控制序列 ，可 以观测 ，故 是可观测的。 因为 ，没有增加之前集合的线性独立的行 数，线性独立行数对初始状态的辨识是无用的， 只有当 包含所有不同列，即 时，初始 状态才能辨识，全局模型是能观测的。 3.3 稳定性 χ = Dn X ∈ χ X = [x1, x2,··· , xn] T F : χ → χ 对于布尔系统式 (8) 和布尔控制系统式 (9) 记 为它们的状态空间。点 可以表示为 ,逻辑映射 ，逻辑映射形 式为[13]    z1 = f1(x1, x2,··· , xn) . . . zn = fn(x1, x2,··· , xn) (27) 简记为 Z = F(X),X,Z ∈ χ。 F I(F ) n×n 定 义 7 [ 1 3 ] 逻辑映射 的关联矩阵 = (bij) 是一个 矩阵，定义为 bi j = { 1, xj(t+1)依赖于xi(t) 0, 其他 (28) X = [x1, x2,··· , xn] T ,F = [f1, f2 ··· , fn] 记 T ，则式 (14) 对 应的布尔网络的逻辑映射可简记为 { X(t+1) = F(X(t),U(t)) X(t) ∈ Dn ,U(t) ∈ Dm (29) 同理式 (15) 对应的布尔控制网络的逻辑映射 可简记为 X(t+1) = Fk(X(t),U(t)) (30) X(t) ∈ Dn 式中 ,U(t) ∈ Dm。 ξ X(k)∨¯ ξ ⩽ I(Fk) j ×(X(0)∨¯ ξ) j > 0 [I(Fk)](j) = 0 定理 5 [13] 1) 设 是式 (14) 的一个不动点，则 , 如果存在 , 使 得 ，则称局部模型是能稳定的。 ξ X(k)∨¯ ξ ⩽ I(F) j ×(X(0)∨¯ ξ) j > 0 [I(F)] F = ∑N k=1 µk(z)Fk 2) 设 是式 (15) 的一个不动点，则 ,如果存在 ,使得 (j) =0，则称 全部模型是能稳定的。其中 。 T T ξ j > T 证明[14] ①必要性：如果系统的局部模型是 稳定的，即系统是收敛的，则 步后 ( 为极短的时 间段)，所有的状态收敛到 ，所以当 时成立。 j > 0 [I(Fk)](j) = 0 X F j k (X) = ξ X(t) ∈ Dn t ⩾ j,F t k (X) = F j k (F t−j k (X)) = ξ ②充分性：假设存在 ,使 成立， 那么对于任意的 有 ， 。故对任 意步数 ，得证。 同理可证全局模型时系统的稳定性。 4 实验仿真 根据第 3 节介绍的模糊动态布尔网络控制系 统，本节选取多输入多输出模糊模型进行非线性 模糊建模及其能控性、能观性分析。 R 1 : if z1 is F1,z2 is F2 Then    x1(t+1) = x2(t)∧u1(t) x2(t+1) = x3(t)∨u2(t) x3(t+1) = x1(t) y1(t) = x1(t) y2(t) = ¬x2(t) R 2 : if z1 is F2,z2 is F1 Then    x1(t+1) = x3(t)∧u1(t) x2(t+1) = ¬u2(t) x3(t+1) = x1(t)∨ x2(t) y1(t) = x1(t) y2(t) = x2(t)∨ x3(t) (31) 其代数表达式为 R 1 : if z1 is F1,z2 is F2 Then{ x(t+1) = L1u(t)x(t) y(t) = H1 x(t) R 2 : if z1 is F2,z2 is F1 Then{ x(t+1) = L2u(t)x(t) y(t) = H2 x(t) (32) 则整个系统模糊状态方程可表示为式 (15)，其中 L1 = δ8[1 1 5 5 2 2 6 6 1 3 5 7 2 4 6 8 5 5 5 5 6 6 6 6 5 7 5 7 6 8 6 8] L2 = δ8[3 1 7 5 3 1 7 5 7 5 7 5 7 5 7 5 3 1 7 5 3 1 7 5 8 6 8 6 8 6 8 6] H1 = δ4[2 1 2 1 4 3 4 3], H2 = δ4[1 1 1 2 3 3 3 4] L = µ1(z)L1 +µ2(z)L2 , H = µ1(z)H1 +µ2(z)H2 , µ1 = µF11 (z1)∧µF21 (z2), µ2 = µF12 (z1)∧µF22 (z2)。 第 5 期 吕红丽，等：非线性布尔网络系统模糊建模与动态性能分析 ·711·